Resolva cada uma das integrais abaixo:
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} d x d y, em que
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}\,dx\,dy
onde
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
O conteúdo principal aqui é integração em coordenadas polares, já que a região D é um disco e a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad x^{2}+y^{2}=r^{2},
e o elemento de área é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Além disso
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2} = (r^{2})^{3/2} = r^{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original, os limites são r de 0 a 2 e \theta de 0 a 2\pi. Assim
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} r^{3}\,(r\,dr)\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{4}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
Então
\int_{0}^{2\pi}\!\frac{32}{5}\,d\theta = \frac{32}{5}\,\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{32}{5}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{5}.

Resposta

\frac{64\pi}{5}.

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