Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{2} 2 t \cos ^{4} 2 t dt

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sin^{2}2t\;\cos^{4}2t\;dt.
O conteúdo aqui são integrais de potências pares de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar as fórmulas de redução de potência
\sin^{2}x = \frac{1-\cos2x}{2} \quad\text{e}\quad \cos^{4}x = \frac{3 + 4\cos2x + \cos4x}{8}.

Passo 2

Aplicando as fórmulas com x=2t, obtemos
\sin^{2}(2t) = \frac{1 - \cos(4t)}{2}, \quad \cos^{4}(2t) = \frac{3 + 4\cos(4t) + \cos(8t)}{8}.
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\sin^{2}(2t)\,\cos^{4}(2t) = \frac{(1 - \cos4t)\,(3 + 4\cos4t + \cos8t)}{16}.

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos usando
\cos^{2}(4t) = \frac{1+\cos8t}{2}, \quad \cos8t\cos4t = \frac{\cos12t + \cos4t}{2}.
Fazendo as contas dá
\sin^{2}(2t)\cos^{4}(2t) = \frac{1}{16}\Bigl[1 + \tfrac12\cos4t - \cos8t - \tfrac12\cos12t\Bigr].

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \sin^{2}(2t)\cos^{4}(2t)\,dt = \frac1{16}\int dt + \frac1{32}\int \cos4t\,dt - \frac1{16}\int \cos8t\,dt - \frac1{32}\int \cos12t\,dt.
Como
\int \cos(kt)\,dt = \frac{\sin(kt)}{k},
resulta
\frac{t}{16} + \frac{1}{32}\cdot\frac{\sin4t}{4} - \frac{1}{16}\cdot\frac{\sin8t}{8} - \frac{1}{32}\cdot\frac{\sin12t}{12} + C.

Passo 5

Reescrevendo os coeficientes, a resposta final é

Resposta

\frac{t}{16} + \frac{\sin4t}{128} - \frac{\sin8t}{128} - \frac{\sin12t}{384} + C.

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