Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \frac{\cos ^{3} 3 x}{\sqrt[3]{\sin 3 x}} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos^{3}(3x)}{\sqrt[3]{\sin(3x)}}\,dx
Isso envolve uma expressão em que aparece \sin(3x) no denominador e potências de \cos(3x). Vamos usar a técnica de substituição para transformar tudo em termos de uma única função.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(3x).
Diferenciando, temos
du = 3\cos(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(3x)\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Escrevemos \cos^3(3x)\,dx = \cos^2(3x)\,\bigl(\cos(3x)\,dx\bigr). Como \cos^2(3x) = 1 - \sin^2(3x), em termos de u fica
\cos^2(3x) = 1 - u^2,
e o denominador \sqrt[3]{\sin(3x)} vira u^{1/3}. Assim a integral original se transforma em
\int \frac{\cos^3(3x)}{\sqrt[3]{\sin(3x)}}\,dx = \int \frac{(1 - u^2)\,\bigl(\cos(3x)\,dx\bigr)}{u^{1/3}} = \int \frac{1 - u^2}{u^{1/3}}\cdot\frac{du}{3}.

Passo 4

Simplificamos o integrando:
\frac{1 - u^2}{u^{1/3}} = u^{-1/3} - u^{5/3}.
Logo
\int \frac{1 - u^2}{u^{1/3}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int\bigl(u^{-1/3} - u^{5/3}\bigr)du.
Agora integramos termo a termo:
\int u^{-1/3}du = \frac{u^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}u^{2/3}, \quad \int u^{5/3}du = \frac{u^{8/3}}{8/3} = \frac{3}{8}u^{8/3}.
Portanto
\frac{1}{3}\Bigl(\frac{3}{2}u^{2/3} - \frac{3}{8}u^{8/3}\Bigr) = \frac{1}{2}u^{2/3} - \frac{1}{8}u^{8/3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u = \sin(3x), obtemos a antiderivada
\frac{1}{2}\bigl(\sin(3x)\bigr)^{2/3} \;-\; \frac{1}{8}\bigl(\sin(3x)\bigr)^{8/3} \;+\; C.

Resposta

\int \frac{\cos^{3}(3x)}{\sqrt[3]{\sin(3x)}}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(\sin(3x)\bigr)^{2/3} - \frac{1}{8}\bigl(\sin(3x)\bigr)^{8/3} + C.

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