Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{2} 3 t \cos ^{2} 3 t dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \sin^{2}(3t)\,\cos^{2}(3t)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de potências de seno e cosseno, e vamos precisar usar identidades de redução de potência para transformar o integrando em algo fácil de integrar.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^{2}x\;\cos^{2}x \;=\;\frac{1}{4}\,\sin^{2}(2x).
Aplicando com x=3t, obtemos
\sin^{2}(3t)\,\cos^{2}(3t) =\frac{1}{4}\,\sin^{2}(6t).

Passo 3

Portanto
\int \sin^{2}(3t)\,\cos^{2}(3t)\,dt =\frac{1}{4}\int \sin^{2}(6t)\,dt.

Passo 4

Para \sin^{2}(6t) usamos a redução de potência
\sin^{2}(6t)=\frac{1-\cos(12t)}{2}.
Logo
\frac{1}{4}\int \sin^{2}(6t)\,dt =\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos(12t)}{2}\,dt =\frac{1}{8}\int \bigl(1-\cos(12t)\bigr)\,dt.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int 1\,dt = t, \qquad \int \cos(12t)\,dt = \frac{1}{12}\,\sin(12t).
Logo
\frac{1}{8}\int \bigl(1-\cos(12t)\bigr)\,dt =\frac{1}{8}\Bigl(t - \frac{1}{12}\sin(12t)\Bigr)+C =\frac{t}{8}-\frac{1}{96}\sin(12t)+C.

Resposta

\int \sin^{2}(3t)\,\cos^{2}(3t)\,dt =\frac{t}{8}-\frac{1}{96}\sin(12t)+C.

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