Resolva cada uma das integrais a seguir
\int(\sin 3 t-\sin 2 t)^{2} dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int(\sin 3t-\sin 2t)^{2}\,dt
O conteúdo que vamos usar inclui identidades trigonométricas de ângulo duplo e produto para soma, além de integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado e aplicamos as identidades
(\sin3t-\sin2t)^2=\sin^2 3t-2\sin3t\sin2t+\sin^2 2t.
Sabendo que
\sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}
e
\sin A\,\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2},
temos
\sin^2 3t=\frac{1-\cos6t}{2},\qquad \sin^2 2t=\frac{1-\cos4t}{2},
-2\sin3t\sin2t=-\bigl(\cos t-\cos5t\bigr).

Passo 3

Substituindo essas expressões, o integrando fica
(\sin3t-\sin2t)^2 =\frac{1-\cos6t}{2}+\frac{1-\cos4t}{2}-\bigl(\cos t-\cos5t\bigr).
Reagrupando,
(\sin3t-\sin2t)^2 =1-\frac{\cos6t+\cos4t}{2}-\cos t+\cos5t.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int 1\,dt = t,
\int -\frac{\cos6t}{2}\,dt =-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin6t}{6} =-\frac{1}{12}\sin6t,
\int -\frac{\cos4t}{2}\,dt =-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin4t}{4} =-\frac{1}{8}\sin4t,
\int -\cos t\,dt = -\sin t,
\int \cos5t\,dt = \frac{\sin5t}{5}.

Resposta

\int(\sin3t-\sin2t)^2\,dt = t - \frac{1}{12}\sin6t - \frac{1}{8}\sin4t - \sin t + \frac{1}{5}\sin5t + C.

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