Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \cos t \cos 3 t dt

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos t \cos 3t \, dt.
O conteúdo envolve técnicas de integração usando identidades trigonométricas, em particular a fórmula produto-para-soma.

Passo 2

Aplicamos a identidade produto-para-soma
\cos A \cos B = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A - B) + \cos(A + B)\bigr].
Tomando A = t e B = 3t, obtemos
\cos t \cos 3t = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(-2t) + \cos(4t)\bigr] = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(2t) + \cos(4t)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \cos t \cos 3t \, dt = \tfrac{1}{2}\int \bigl[\cos(2t) + \cos(4t)\bigr] \, dt.
Integramos termo a termo:
\int \cos(2t)\,dt = \tfrac{1}{2}\sin(2t), \qquad \int \cos(4t)\,dt = \tfrac{1}{4}\sin(4t).

Passo 4

Reunindo os resultados,
\int \cos t \cos 3t \, dt = \tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{2}\sin(2t) + \tfrac{1}{4}\sin(4t)\Bigr) + C = \tfrac{1}{4}\sin(2t) + \tfrac{1}{8}\sin(4t) + C.

Resposta

\int \cos t \cos 3t \, dt = \tfrac{1}{4}\sin(2t) + \tfrac{1}{8}\sin(4t) + C

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