Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{5} x \cos ^{2} x dx

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sin^5 x \cos^2 x \, dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a substituição u=\cos x, aproveitando que du=-\sin x\,dx.

Passo 2

Para reescrever o integrando em termos de u, notamos que
\sin^5 x = \sin^4 x \,\sin x e usamos a identidade \sin^2 x = 1-\cos^2 x. Logo
\sin^4 x = (1-\cos^2 x)^2 = (1-u^2)^2
e
\sin^5 x \cos^2 x = (1-u^2)^2\,u^2\,\sin x.

Passo 3

Com u=\cos x temos du=-\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx=-du. Substituindo na integral:
\int \sin^5 x \cos^2 x \, dx = \int (1-u^2)^2\,u^2\,\sin x\,dx = -\int (1-u^2)^2\,u^2 \,du.
Expanda o polinômio:
(1-u^2)^2\,u^2 = u^2 - 2u^4 + u^6.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
-\int (u^2 - 2u^4 + u^6)\,du = -\Bigl(\frac{u^3}{3} - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7}\Bigr) + C = -\frac{u^3}{3} + \frac{2u^5}{5} - \frac{u^7}{7} + C.

Passo 5

Voltando a variável original u=\cos x,
\int \sin^5 x \cos^2 x \, dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^7 x}{7} + C.

Resposta

-\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^7 x}{7} + C

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