Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \cos ^{3} 4 x \sin 4 x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cos^{3}(4x)\,\sin(4x)\,dx.
Aqui vamos usar a técnica de substituição, porque vemos uma função \cos(4x) elevada a uma potência e seu derivado \sin(4x)\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos(4x).
Derivando, obtemos
du = -4\,\sin(4x)\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad \sin(4x)\,dx = -\tfrac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \cos^{3}(4x)\,\sin(4x)\,dx = \int u^{3}\Bigl(-\tfrac{1}{4}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{4}\int u^{3}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
-\tfrac{1}{4}\int u^{3}\,du = -\tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{u^{4}}{4} + C = -\tfrac{u^{4}}{16} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = \cos(4x) e obtemos
-\frac{\bigl(\cos(4x)\bigr)^{4}}{16} + C.

Resposta

-\frac{\cos^{4}(4x)}{16} + C

Exercícios relacionados