Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin x \sin 3 x \sin 5 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin x \,\sin 3x\,\sin 5x \,dx.
O conteúdo aqui é integrar um produto de funções trigonométricas, e vamos usar identidades de produto-para-soma para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin A\,\sin B = \tfrac12\bigl[\cos(A - B)-\cos(A + B)\bigr]
a A = x e B = 3x, obtendo
\sin x\,\sin 3x = \tfrac12\bigl[\cos(2x)-\cos(4x)\bigr].
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\int \sin x\,\sin 3x\,\sin 5x \,dx = \int \tfrac12\bigl[\cos(2x)-\cos(4x)\bigr]\sin 5x \,dx.

Passo 3

Colocando o fator 1/2 para fora do integral e distribuindo, temos
\int \sin x\,\sin 3x\,\sin 5x \,dx = \tfrac12\int \bigl[\cos(2x)\sin 5x - \cos(4x)\sin 5x\bigr]dx.

Passo 4

Usamos agora a identidade
\sin D\,\cos C = \tfrac12\bigl[\sin(D + C)+\sin(D - C)\bigr]
em cada produto:
\cos(2x)\sin(5x) =\tfrac12\bigl[\sin(7x)+\sin(3x)\bigr], \quad \cos(4x)\sin(5x) =\tfrac12\bigl[\sin(9x)+\sin(x)\bigr].
Substituindo no integral,
\tfrac12\int \bigl[\tfrac12(\sin7x+\sin3x)-\tfrac12(\sin9x+\sin x)\bigr]dx = \tfrac14\int\bigl[\sin7x+\sin3x-\sin9x-\sin x\bigr]dx.

Passo 5

Integramos termo a termo, sabendo que
\displaystyle\int \sin(kx)\,dx=-\tfrac1k\cos(kx):
\tfrac14\Bigl[ -\tfrac1{7}\cos(7x) -\tfrac1{3}\cos(3x) +\tfrac1{9}\cos(9x) +\cos(x) \Bigr]+C.

Passo 6

Reescrevendo coeficientes de forma mais limpa, a primitiva é
-\tfrac1{28}\cos(7x) -\tfrac1{12}\cos(3x) +\tfrac1{36}\cos(9x) +\tfrac14\cos(x) + C.

Resposta

\int \sin x\,\sin 3x\,\sin 5x \,dx =-\tfrac1{28}\cos(7x) -\tfrac1{12}\cos(3x) +\tfrac1{36}\cos(9x) +\tfrac14\cos(x) + C.

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