Questão 9: *

Calcule g^{\prime}(e) para g(x)=x \ln x-\frac{x}{\ln x}+\ln (\ln x).
a) \frac{e^{2}+e+1}{e}
b) \frac{2 e+1}{e}
c) \frac{e^{2}+1}{e}
d) \frac{e^{2}+2 e}{e}
\bigcirc a)
\bigcirc b)
\bigcirc c)

Passo 1

O enunciado pede calcular g^{\prime}(e) para a função
g(x)=x\ln x-\frac{x}{\ln x}+\ln(\ln x).
Informações dadas:
\text{(i) } g(x)=x\ln x-\frac{x}{\ln x}+\ln(\ln x), \qquad \text{queremos } g'(e).
As alternativas fornecidas (para conferência) são:
\text{a) }\frac{e^{2}+e+1}{e},\quad \text{b) }\frac{2e+1}{e},\quad \text{c) }\frac{e^{2}+1}{e},\quad \text{d) }\frac{e^{2}+2e}{e}.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de diferenciação que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Aqui a variável é x, então \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'\,v+u\,v'. Ou seja, derivamos uma, multiplicamos pela outra e somamos o caso simétrico.
  • Regra da cadeia: se temos h(x)=f(g(x)), então h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\ln(\ln x)=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\ln x}.
  • Podemos tratar uma fração \dfrac{x}{\ln x} como produto x\cdot(\ln x)^{-1} e aplicar produto + cadeia, o que às vezes fica mais direto que a fórmula do quociente.
Vou aplicar essas regras passo a passo em cada termo de g(x).

Passo 3

Derivada do primeiro termo x\ln x. Aqui é produto com u(x)=x e v(x)=\ln x.
u'(x)=1,\qquad v'(x)=\frac{1}{x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Expliquei: derivamos x (vira 1) e multiplicamos por \ln x, depois somamos x vezes a derivada de \ln x que é 1/x, que simplifica para 1.

Passo 4

Derivada do segundo termo -\dfrac{x}{\ln x}. Reescrevo como -x(\ln x)^{-1} e uso produto + cadeia:
Se w(x)= -x(\ln x)^{-1}, então para u(x)=-x e v(x)=(\ln x)^{-1} temos
u'(x)=-1.
Para v(x)=(\ln x)^{-1} uso regra da cadeia: v(x)=h(\ln x) com h(t)=t^{-1}. Logo h'(t)=-t^{-2} e (\ln x)'=1/x. Assim
v'(x)= -(\ln x)^{-2}\cdot\frac{1}{x} = -\frac{1}{x(\ln x)^2}.
Agora aplicando produto:
\frac{d}{dx}\left(-x(\ln x)^{-1}\right)=u'v+u v' = (-1)\cdot(\ln x)^{-1} + (-x)\cdot\left(-\frac{1}{x(\ln x)^2}\right).
Simplificando o segundo termo: (-x)\cdot\left(-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}\right)=\dfrac{1}{(\ln x)^2}. Portanto
\frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{\ln x}\right) = -\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{(\ln x)^2}.
Podemos juntar em um único quociente se quisermos:
-\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{(\ln x)^2} = \frac{1-(\ln x)}{(\ln x)^2}.
(Verifique: multiplicando -\dfrac{1}{\ln x} por \dfrac{\ln x}{\ln x} -\dfrac{\ln x}{(\ln x)^2}, somando com \dfrac{1}{(\ln x)^2} resulta em \dfrac{1-\ln x}{(\ln x)^2}.)

Passo 5

Derivada do terceiro termo \ln(\ln x). Aqui é aplicação direta da regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(\ln x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x}.
Expliquei: derivada externa de \ln(\cdot) é 1/(\cdot) avaliada em \ln x, multiplicada pela derivada interna 1/x.

Passo 6

Somando as três derivadas obtemos g'(x):
g'(x)=\underbrace{\ln x + 1}_{\text{do }x\ln x} \;+\; \underbrace{\left(-\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{(\ln x)^2}\right)}_{\text{do }-\frac{x}{\ln x}} \;+\; \underbrace{\frac{1}{x\ln x}}_{\text{de }\ln(\ln x)}.
Ou, em forma simplificada (uma possível organização),
g'(x)=\ln x + 1 -\frac{1}{\ln x} + \frac{1}{(\ln x)^2} + \frac{1}{x\ln x}.

Passo 7

Agora avaliamos em x=e. Lembre as identidades fundamentais: \ln e=1 e, portanto, \ln(\ln e)=\ln 1=0 (a segunda foi só para curiosidade, não usada na derivada).
Substituindo \ln e=1 e x=e em cada termo:
\ln e + 1 = 1 + 1 = 2,
-\frac{1}{\ln e} + \frac{1}{(\ln e)^2} = -\frac{1}{1} + \frac{1}{1^2} = -1 + 1 = 0,
\frac{1}{x\ln x}\Big|_{x=e} = \frac{1}{e\cdot 1} = \frac{1}{e}.
Somando:
g'(e)=2 + 0 + \frac{1}{e}=2+\frac{1}{e}.
Escrevendo como fração única:
2+\frac{1}{e}=\frac{2e}{e}+\frac{1}{e}=\frac{2e+1}{e}.

Resposta

b) \frac{2e+1}{e}

Exercícios relacionados