Calcule g^{\prime}(e) para g(x)=x \ln x-\frac{x}{\ln x}+\ln (\ln x).
a) \frac{e^{2}+e+1}{e}
b) \frac{2 e+1}{e}
c) \frac{e^{2}+1}{e}
d) \frac{e^{2}+2 e}{e} \bigcirc a) \bigcirc b) \bigcirc c)
Passo 1
O enunciado pede calcular g^{\prime}(e) para a função
Vamos lembrar as regras de diferenciação que usaremos (explicadas de forma simples):
Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Aqui a variável é x, então \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'\,v+u\,v'. Ou seja, derivamos uma, multiplicamos pela outra e somamos o caso simétrico.
Regra da cadeia: se temos h(x)=f(g(x)), então h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\ln(\ln x)=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\ln x}.
Podemos tratar uma fração \dfrac{x}{\ln x} como produto x\cdot(\ln x)^{-1} e aplicar produto + cadeia, o que às vezes fica mais direto que a fórmula do quociente.
Vou aplicar essas regras passo a passo em cada termo de g(x).
Passo 3
Derivada do primeiro termo x\ln x. Aqui é produto com u(x)=x e v(x)=\ln x.
u'(x)=1,\qquad v'(x)=\frac{1}{x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Expliquei: derivamos x (vira 1) e multiplicamos por \ln x, depois somamos x vezes a derivada de \ln x que é 1/x, que simplifica para 1.
Passo 4
Derivada do segundo termo -\dfrac{x}{\ln x}. Reescrevo como -x(\ln x)^{-1} e uso produto + cadeia:
Se w(x)= -x(\ln x)^{-1}, então para u(x)=-x e v(x)=(\ln x)^{-1} temos
u'(x)=-1.
Para v(x)=(\ln x)^{-1} uso regra da cadeia: v(x)=h(\ln x) com h(t)=t^{-1}. Logo h'(t)=-t^{-2} e (\ln x)'=1/x. Assim
Agora avaliamos em x=e. Lembre as identidades fundamentais: \ln e=1 e, portanto, \ln(\ln e)=\ln 1=0 (a segunda foi só para curiosidade, não usada na derivada).
Substituindo \ln e=1 e x=e em cada termo: