Em cada item abaixo, calcule a área limitada pelas curvas dadas pelas equações:
(a) ly=9-x^2 y=x^2
(d) ly=ln (1+x) y=-ln (1+x) x=e-1
(g) ly=ln x y=ln ^2 x
(b) ly=raizx y=x^2
(e) ly=ln (1+x^2) y=ln 2
(h) ly=cos x y=sen x -pi2 <= x <= pi2
© ly=e^x y=1-x x=1
(f) ly=x^2-pi^24 y=cos x
(i) lx^2 y=1 y=-27 x x=-8 y

Passo 1

Neste exercício temos nove itens (a)–(i) que pedem áreas limitadas por curvas. O conteúdo é cálculo de áreas entre duas curvas por integrais definidas. O procedimento geral em cada item é: 1) achar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração; 2) verificar qual função fica acima da outra no intervalo; 3) montar a integral da diferença e calculá-la.

Passo 2

As curvas do item (a) são y=9−x² e y=x². Igualando 9−x²=x² obtemos x=±3. No intervalo [−3,3] vale 9−x² ≥ x², logo
Aa = integral-3^3[(9-x^2)-x^2],dx=integral-3^3(9-2x^2),dx=18

Passo 3

No item (b) as curvas são y=√x e y=x². Igualando √x=x² temos x=0 ou x=1. Em [0,1], √x ≥ x². Então
Ab=integral0^1(raizx-x^2),dx=[tfrac23x^3/2-tfrac13x^3]0^1=tfrac13

Passo 4

No item © temos y=e^x, y=1−x e a reta x=1. As curvas e^x e 1−x se cruzam em x=0; em [0,1] e^x ≥ 1−x. Logo
Ac=integral0^1[e^x-(1-x)],dx=l[e^xr]0^1-l[x-tfracx^22r]0^1=e-tfrac32

Passo 5

No item (d) as curvas são y=ln(1+x), y=−ln(1+x) e x=e−1. Igualando ln(1+x)=−ln(1+x) dá x=0; de 0 a e−1 tem ln(1+x) ≥ −ln(1+x). Então
Ad=integral0^e-1[ln(1+x)-(-ln(1+x))],dx=2integral0^e-1ln(1+x),dx=2

Passo 6

No item (e) y=ln(1+x²) e y=ln2 se cruzam em x=±1; em [−1,1] ln2 ≥ ln(1+x²). Assim
Ae=integral-1^1[ln2-ln(1+x^2)],dx=4-pi

Passo 7

No item (f) y=x²−\frac{\pi^2}{4} e y=cos x se cruzam em x=±π/2; em [−π/2,π/2] cos x ≥ x²−π²/4. Logo
Af=integral-pi/2^pi/2[cos x-(x^2-tfracpi^24)],dx=2+tfracpi^36

Passo 8

No item (g) y=ln x e y=(ln x)² se cruzam em x=1 e x=e; em [1,e] ln x ≥ (ln x)². Então
Ag=integral1^e[ln x-(ln x)^2],dx=3-e

Passo 9

No item (h) y=cos x e y=sen x em [−π/2,π/2] se cruzam em x=π/4; de −π/2 a π/4 cos x ≥ sen x e de π/4 a π/2 sen x ≥ cos x. Logo
Ah=integral-pi/2^pi/4(cos x-sin x),dx+integralpi/4^pi/2(sin x-cos x),dx=2raiz2

Passo 10

No item (i) temos y=1/x², y=-27x e x=-8y; as interseções são (0,0),(-2,1/4),(-1/3,9). Integrando em y em dois trechos e calculando obtemos
Ai=3673864

Resposta

(a) 18
(b) tfrac13
© e-tfrac32
(d) 2
(e) 4-pi
(f) 2+tfracpi^36
(g) 3-e
(h) 2raiz2
(i) tfrac3673864

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