Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite
não existe. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos utilizar dois caminhos diferentes para chegar no ponto
e ver se o limite é o mesmo ou não. Se os limites pelos dois caminhos forem diferentes, isso mostra que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar nossa análise escolhendo o primeiro caminho:
se aproxima de
ao longo da linha
. Ou seja, fixamos
e deixamos
se aproximar de 1.
Substituindo
na função, temos:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente. Vamos considerar que
. Assim, à medida que
se aproxima de 1,
também se aproxima de 0.
Substituindo
na função, temos:
Portanto, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 4
Observamos que, pelo caminho
, o limite foi 0, e pelo caminho
, o limite foi
. Como os limites pelos dois caminhos são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, já que os limites pelos caminhos
e
são diferentes.