Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(d) lim (x, y) (1,0) y(x-1)^2(x-1)^4+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite não existe. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos utilizar dois caminhos diferentes para chegar no ponto e ver se o limite é o mesmo ou não. Se os limites pelos dois caminhos forem diferentes, isso mostra que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar nossa análise escolhendo o primeiro caminho: 0 cdot (x-1)^2(x-1)^4 + 0^2 = 0(x-1)^4 = 0 se aproxima de ao longo da linha . Ou seja, fixamos e deixamos se aproximar de 1.
Substituindo na função, temos:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente. Vamos considerar que (x-1)^2 cdot (x-1)^2(x-1)^4 + (x-1)^4 = (x-1)^42(x-1)^4 = 12 . Assim, à medida que se aproxima de 1, também se aproxima de 0.
Substituindo na função, temos:
Portanto, pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que, pelo caminho , o limite foi 0, e pelo caminho , o limite foi . Como os limites pelos dois caminhos são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, já que os limites pelos caminhos e são diferentes.

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