Resolva as equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}}{y^{4}}, sendo y(0)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de variáveis separáveis
\frac{dy}{dx}=\frac{x^3}{y^4}
com condição inicial y(0)=4. Vamos usar o método de separação de variáveis: agrupar termos em y de um lado e em x do outro, depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y^4 e por dx:
y^4\,dy = x^3\,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int y^4\,dy = \int x^3\,dx
O que leva a
\frac{y^5}{5} = \frac{x^4}{4} + C

Passo 4

Multiplique tudo por 5 para isolar y^5:
y^5 = \frac{5}{4}\,x^4 + C_1,
onde C_1 = 5C.

Passo 5

Use a condição inicial y(0)=4. Substituindo x=0 e y=4 na expressão acima, obtemos
4^5 = C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 1024.

Passo 6

Substitua C_1 na solução geral e isole y:
y^5 = 1024 + \frac{5}{4}\,x^4 \quad\Rightarrow\quad y = \Bigl(1024 + \tfrac{5}{4}\,x^4\Bigr)^{1/5}.

Resposta

y(x) = \Bigl(1024 + \tfrac{5}{4}\,x^4\Bigr)^{1/5}.

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