Resolva cada item:
calcule o
.
calcule o
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o
.
Informações dadas: os dois inteiros e
.
Objetivo claro: encontrar o máximo divisor comum (mdc) desses dois números — o maior inteiro positivo que divide os dois ao mesmo tempo.
Informações dadas: os dois inteiros
Objetivo claro: encontrar o máximo divisor comum (mdc) desses dois números — o maior inteiro positivo que divide os dois ao mesmo tempo.
Passo 2
Conceito e ideia do método (explicação didática calma).
O máximo divisor comum de dois inteiros e
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Uma técnica eficiente e que costuma cair em prova é o algoritmo de Euclides. A ideia principal do algoritmo de Euclides é usar divisões sucessivas com resto: se
O máximo divisor comum de dois inteiros
então
Porque isso vale? Qualquer divisor comum de
e
também divide
; e qualquer divisor comum de
e
divide
. Assim os conjuntos de divisores comuns coincidem e o máximo também. Repetindo a divisão até obter resto zero, o último resto não nulo é o mdc.
Passo 3
Aplicando o algoritmo: primeiro passo de divisão (dividir o maior pelo menor). Aqui
, então dividimos
por
. Calcula-se o quociente inteiro e o resto:
pois
e
. Portanto
.
Passo 4
Próxima divisão: dividir
por
. Encontramos quociente e resto:
pois
e
. Então
.
Passo 5
Próxima divisão: dividir
por
. Calcula-se:
pois
e
. Logo
.
Passo 6
Próxima divisão: dividir
por
:
O resto é
, portanto o algoritmo termina e o último resto não nulo é
. Portanto
.
Passo 7
Comentário extra útil para prova — expressão de Bézout (opcional, mas costuma ser pedida). O algoritmo de Euclides também permite escrever o
como combinação linear dos números: existem inteiros
tais que
. Fazendo substituições reversas das igualdades usadas acima:
Substituindo
em
:
Substituindo
:
Assim uma representação é
. Isso confirma que
divide ambos e mostra explicitamente a relação de Bézout.