(2,0) Resolva cada item:
calcule o m d c(542,234).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o \operatorname{mdc}(542,234).
Informações dadas: os dois inteiros 542 e 234.
Objetivo claro: encontrar o máximo divisor comum (mdc) desses dois números — o maior inteiro positivo que divide os dois ao mesmo tempo.

Passo 2

Conceito e ideia do método (explicação didática calma).
O máximo divisor comum de dois inteiros a e b é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Uma técnica eficiente e que costuma cair em prova é o algoritmo de Euclides. A ideia principal do algoritmo de Euclides é usar divisões sucessivas com resto: se
a = b\cdot q + r\quad\text{com }0 \le r < b,
então
\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(b,r).
Porque isso vale? Qualquer divisor comum de a e b também divide r=a-bq; e qualquer divisor comum de b e r divide a=bq+r. Assim os conjuntos de divisores comuns coincidem e o máximo também. Repetindo a divisão até obter resto zero, o último resto não nulo é o mdc.

Passo 3

Aplicando o algoritmo: primeiro passo de divisão (dividir o maior pelo menor). Aqui 542>234, então dividimos 542 por 234. Calcula-se o quociente inteiro e o resto:
542 = 234\cdot 2 + 74,
pois 234\cdot 2 = 468 e 542-468=74. Portanto \operatorname{mdc}(542,234)=\operatorname{mdc}(234,74).

Passo 4

Próxima divisão: dividir 234 por 74. Encontramos quociente e resto:
234 = 74\cdot 3 + 12,
pois 74\cdot 3 = 222 e 234-222=12. Então \operatorname{mdc}(234,74)=\operatorname{mdc}(74,12).

Passo 5

Próxima divisão: dividir 74 por 12. Calcula-se:
74 = 12\cdot 6 + 2,
pois 12\cdot 6 = 72 e 74-72=2. Logo \operatorname{mdc}(74,12)=\operatorname{mdc}(12,2).

Passo 6

Próxima divisão: dividir 12 por 2:
12 = 2\cdot 6 + 0.
O resto é 0, portanto o algoritmo termina e o último resto não nulo é 2. Portanto \operatorname{mdc}(542,234)=2.

Passo 7

Comentário extra útil para prova — expressão de Bézout (opcional, mas costuma ser pedida). O algoritmo de Euclides também permite escrever o \operatorname{mdc} como combinação linear dos números: existem inteiros x,y tais que 2 = x\cdot 542 + y\cdot 234. Fazendo substituições reversas das igualdades usadas acima:
2 = 74 - 12\cdot 6,
12 = 234 - 74\cdot 3,
74 = 542 - 234\cdot 2.
Substituindo 12 em 2:
2 = 74 - 6(234 - 74\cdot 3) = 19\cdot 74 - 6\cdot 234.
Substituindo 74:
2 = 19(542 - 234\cdot 2) - 6\cdot 234 = 19\cdot 542 - 44\cdot 234.
Assim uma representação é 2 = 19\cdot 542 + (-44)\cdot 234. Isso confirma que 2 divide ambos e mostra explicitamente a relação de Bézout.

Resposta

2

Exercícios relacionados