1- Questão: Determine os valores de a e b de modo que f seja diferenciável em todo o seu domínio, sendo
lll a x^3+b x^2 & se & x <= 2 raizx+2 & se & x>2

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= a,x^3+b,x^2, & x<=2, raizx+2, & x>2,
e pede a e b tais que f seja diferenciável em todo o domínio. Como cada ramo isolado já é diferenciável em seu interior, só precisamos garantir continuidade e igualdade das derivadas em x=2.

Passo 2

Condição de continuidade em x=2: o limite à esquerda deve igualar o limite à direita e o valor em 2.
f(2^-)=acdot2^3+bcdot2^2=8a+4b,
f(2^+)=raiz2+2=raiz4=2
Logo,
8a+4b=2

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=2: as derivadas laterais devem coincidir.
Para x<=2,
f'(x)=3a,x^2+2b,x,
então
f'(2^-)=3acdot2^2+2bcdot2=12a+4b
Para x>2,
f'(x)=12raizx+2,
logo
f'(2^+)=12raiz4=14
Igualando,
12a+4b=14

Passo 4

Resolvendo o sistema
8a+4b=2, 12a+4b=tfrac14,
subtraímos a primeira equação da segunda:
(12a+4b)-(8a+4b)=tfrac14-2 ;Longrightarrow; 4a=-tfrac74 ;Longrightarrow; a=-tfrac716
Em seguida, de 8a+4b=2:
8l(-tfrac716r)+4b=2 ;Longrightarrow; - tfrac72+4b=2 ;Longrightarrow; 4b=tfrac112 ;Longrightarrow; b=tfrac118

Resposta

a=-tfrac716, b=tfrac118

Exercícios relacionados