Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
y^(4)+2 y^(3)+3 y^prime prime+2 y^prime+y=0 (Sugestão: calcule (r^2+r+1)^2.)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y^(4) + 2,y^(3) + 3,y'' + 2,y' + y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico substituindo y^(k) por r^k:
r^4 + 2r^3 + 3r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Observando o polinômio, notamos que ele é simétrico e a sugestão diz para calcular
(r^2 + r + 1)^2
De fato
(r^2 + r + 1)^2 = r^4 + 2r^3 + 3r^2 + 2r + 1,
logo a equação característica é
(r^2 + r + 1)^2 = 0

Passo 4

Resolvendo r^2 + r + 1 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm iraiz32
Chamemos essas raízes de
r1,2 = -tfrac12 pm i,tfracraiz32,
cada uma com multiplicidade 2, pois o fator está ao quadrado.

Passo 5

Para raízes complexas conjugadas alpha pm ibeta de multiplicidade 2, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r) + x,e^alpha xl(C3cos(beta x) + C4sin(beta x)r)
Aqui alpha = -tfrac12 e beta = tfracraiz32.

Resposta

onde são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados