Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
(Sugestão: calcule
.)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico substituindo
por
:
Passo 3
Observando o polinômio, notamos que ele é simétrico e a sugestão diz para calcular
De fato
logo a equação característica é
Passo 4
Resolvendo
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Chamemos essas raízes de
cada uma com multiplicidade 2, pois o fator está ao quadrado.
Passo 5
Para raízes complexas conjugadas
de multiplicidade 2, a solução geral é
Aqui
e
.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.