Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
l2 y d yd x=-x^2 ; y(0)=2,

Passo 1

Então, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
2y dfracdydx = -x^2 y(0) = 2
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial ordinária do primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem útil para resolver equações onde podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que $ y $ e $ dy $ fiquem de um lado e $ x $ e $ dx $ do outro. Começamos dividindo ambos os lados por $ 2y $:
y
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ dx $ para separar as variáveis:
dy

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função $ y $ que satisfaça essa relação após a integração.
Integrando o lado esquerdo:
y

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral 2y, dy = 2 cdot dfracy^22 = y^2
Para o lado direito:
integral -x^2, dx = -dfracx^33
Então, temos:
y^2 = -dfracx^33 + C
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 2 $ na equação:
y(0) = 2

Passo 6

Com o valor de $ C $ encontrado, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
C
Para deixar a solução mais clara, podemos escrever $ y $ em termos de $ x $:
y^2 = -dfracx^33 + 4

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = raiz4 - dfracx^33

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