Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
Passo 1
Então, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial ordinária do primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem útil para resolver equações onde podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados diferentes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que $ y $ e $ dy $ fiquem de um lado e $ x $ e $ dx $ do outro. Começamos dividindo ambos os lados por $ 2y $:
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ dx $ para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função $ y $ que satisfaça essa relação após a integração.
Integrando o lado esquerdo:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 2 $ na equação:
Passo 6
Com o valor de $ C $ encontrado, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Para deixar a solução mais clara, podemos escrever $ y $ em termos de $ x $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: