Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para resolver uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
na equação. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções de
e
. A integral de
é
, e a integral de
é
. Então:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
para uma constante
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: