Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
ld yd x=y sen x ; y(pi)=-3,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para resolver uma equação diferencial do tipo dydx = y sin x com a condição inicial y(pi) = -3. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x na equação. Isso significa colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. A equação original é:
dydx = y sin x
Dividindo ambos os lados por y:
1y , dy = sin x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções de y e x. A integral de 1y , dy é ln|y|, e a integral de sin x , dx é -cos x. Então:
integral 1y , dy = integral sin x , dx
ln|y| = -cos x + C

Passo 4

Vamos resolver para y. Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|y| = e^-cos x + C = e^-cos x cdot e^C
Podemos simplificar e^C para uma constante K:
y = K e^-cos x

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial y(pi) = -3 para encontrar o valor de K. Substituindo x = pi e y = -3:
-3 = K e^-cos pi
Sabemos que cos pi = -1, então:
-3 = K e^1
K = -3 e^-1 = -3e

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -3e , e^-cos x = -3 e^-(cos x + 1)

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