Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
e^t+y y^prime=e^2 t-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a técnica de separação de variáveis. A equação que temos é $ e^{t+y} \cdot y’ = e^{2t - y} $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Para resolver, vamos separar as variáveis $ t $ e $ y $ em lados diferentes da equação, permitindo que a gente integre cada lado separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar $ y’ $ (que é a derivada de $ y $ em relação a $ t $). Dividindo ambos os lados da equação por $ e^{t+y} $, temos:
y'
Então, a equação fica:
y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, movemos todos os termos que envolvem $ y $ para um lado e os termos que envolvem $ t $ para o outro:
y
Aqui, multiplicamos ambos os lados por $ e^{2y} $ para que $ dy $ fique do lado esquerdo e $ dt $ do lado direito.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
integral e^2y , dy = integral e^t , dt
Calculando as integrações:
12 e^2y = e^t + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
y
Podemos simplificar $ 2C $ para uma nova constante, ainda chamada $ C $:
e^2y = 2e^t + 2C
Então, aplicamos o logaritmo natural para isolar $ y $:
2C
Finalmente, dividimos por 2:
C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 12 ln(2e^t + C)
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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