Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a técnica de separação de variáveis. A equação que temos é $ e^{t+y} \cdot y’ = e^{2t - y} $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Para resolver, vamos separar as variáveis $ t $ e $ y $ em lados diferentes da equação, permitindo que a gente integre cada lado separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar $ y’ $ (que é a derivada de $ y $ em relação a $ t $). Dividindo ambos os lados da equação por $ e^{t+y} $, temos:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, movemos todos os termos que envolvem $ y $ para um lado e os termos que envolvem $ t $ para o outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por $ e^{2y} $ para que $ dy $ fique do lado esquerdo e $ dt $ do lado direito.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Calculando as integrações:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar $ 2C $ para uma nova constante, ainda chamada $ C $:
Então, aplicamos o logaritmo natural para isolar $ y $:
Finalmente, dividimos por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.