Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar identificar o domínio
no plano
e encontrar os novos limites.
Passo 2
O domínio
é dado por
Para visualizar melhor, esboce as curvas
e
entre
e
. O valor mínimo de
em
ocorre em
com
, e o valor máximo em
com
. Assim,
varia de 0 até
.
Passo 3
Para um valor fixo de
em
, os pontos
satisfazem simultaneamente
e também
. Então
Passo 4
Note que há mudança de regime quando
, porque para
temos
e
, enquanto para
temos
e
(logo
). Assim, separamos em dois casos:
- Para
: . - Para
: .
Passo 5
Portanto, a integral com ordem trocada fica