Inverta a ordem de integração.
integral1^e[integralln x^x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla integral1^el[integralln x^xf(x,y),dyr]dx. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar identificar o domínio D no plano (x,y) e encontrar os novos limites.

Passo 2

O domínio D é dado por
D = (x,y):1 <= x <= e,;ln x <= y <= x
Para visualizar melhor, esboce as curvas y=ln x e y=x entre x=1 e x=e. O valor mínimo de y em D ocorre em x=1 com y=ln1=0, e o valor máximo em x=e com y=e. Assim, y varia de 0 até e.

Passo 3

Para um valor fixo de y em [0,e], os pontos (x,y)in D satisfazem simultaneamente
ln x <= y Longrightarrow x <= e^y,
y <= x Longrightarrow x >= y,
e também 1 <= x <= e. Então
xin [max(1,y),;min(e,e^y)]

Passo 4

Note que há mudança de regime quando y=1, porque para y<=1 temos max(1,y)=1 e e^y<= e, enquanto para y>=1 temos max(1,y)=y e e^y>= e (logo min(e,e^y)=e). Assim, separamos em dois casos:
  • Para 0<= y<=1: xin[1,e^y].
  • Para 1<= y<= e: xin[y,e].

Passo 5

Portanto, a integral com ordem trocada fica
integraly=0^1l[integralx=1^e^yf(x,y),dxr]dy ;+ integraly=1^el[integralx=y^ef(x,y),dxr]dy

Resposta

integral0^1!integral1^e^yf(x,y),dx,dy ;+; integral1^e!integraly^ef(x,y),dx,dy.

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