Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty. \left\{\begin{array}{l}y^{(4)}+y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=-1, y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que se resolva o problema de valor inicial, se plote o gráfico da solução e se comente o comportamento quando t\to\infty\). Os dados são:
\[\begin{cases} y^{(4)}+y=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0,\\[4pt] y''(0)=-1,\quad y^{(3)}(0)=0. \end{cases}
As perguntas que preciso responder são:
Encontrar explicitamente a função y(t)\] que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
- Fornecer um gráfico (instruções/código para plotar) dessa solução.
- Dizer o comportamento de \(y(t) quando t\to\infty.]
Passo 2
Vamos explicar o método passo a passo (aula rápida e prática).
Para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a técnica padrão é usar a equação característica: substituir y=e^{rt} dá um polinômio em r. As raízes desse polinômio nos dão a forma geral da solução.
Aqui a equação característica é
r^4+1=0.
Uma forma prática de fatorar r^4+1 é buscar quadráticas reais. Podemos verificar que
r^4+1=(r^2+\sqrt{2}\,r+1)(r^2-\sqrt{2}\,r+1).
(Verificação rápida: multiplicando as duas quadráticas o termo em r^3 cancela e o termo em r^2 fica (-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})+2= -2+2=0, resultando em r^4+1.)
Cada fator quadrático fornece um par de raízes complexas conjugadas. As raízes são
essas raízes são r=\gamma\pm i\gamma e r=-\gamma\pm i\gamma.
Passo 3
Como consequência, a solução geral real é combinação das soluções associadas a cada par complexo conjugado. Para um par r=\alpha\pm i\beta a solução real típica é e^{\alpha t}(C\cos\beta t + D\sin\beta t). Aplicando isso aos nossos pares com \alpha=\pm\gamma e \beta=\gamma, obtemos a forma geral
Aplicando isso ao primeiro termo com \alpha=\beta=\gamma e coeficientes P=A,Q=B, e ao segundo termo com \alpha=-\gamma e P=C,Q=D, obtemos as contribuições em t=0. Somando os dois termos (primeiro + segundo), as condições iniciais implicam:
y(0)=0\Rightarrow A+C=0.
y'(0)=0\Rightarrow \gamma(A-C)+\gamma(B+D)=0, que simplifica para
mas vou manter o fator \gamma para clareza. (Usarei depois relação entre A e C.)
y''(0)=-1\Rightarrow 2\gamma^2\,(B-D)=-1.
(Detalhe: após somar as contribuições, o termo proporcional a A+C cancela porque A+C aparece multiplicado por \alpha^2-\beta^2= \gamma^2-\gamma^2=0.)
y^{(3)}(0)=0\Rightarrow \gamma(\gamma^2-3\gamma^2)(A-C)+\gamma(3\gamma^2-\gamma^2)(B+D)=0.
Simplificando os coeficientes:
Sabendo que \operatorname{sinh}(x)\sim \tfrac{1}{2}e^{x} para x\to\infty, e que \sin é limitado entre -1 e 1, o produto \operatorname{sinh}(\tfrac{t}{\sqrt{2}})\sin(\tfrac{t}{\sqrt{2}}) cresce em módulo aproximadamente como \tfrac{1}{2}e^{t/\sqrt{2}} multiplicado por uma oscilação de amplitude limitada.
Logo y(t) é uma função oscilatória cujo envelope cresce exponencialmente. Em particular y(t) não converge quando t\to\infty; seu módulo cresce sem limite (diverge), com oscilações de sinal. Em termos simples:
Como plottar a solução? Aqui vai um código Python (Matplotlib) pronto para executar; ele plota y(t) em um intervalo razoável, mostrando o crescimento oscilatório.
Python/Matplotlib (copiar e executar num Jupyter ou script):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
gamma = 1/np.sqrt(2)
defy(t):
return -np.sinh(gamma*t)*np.sin(gamma*t)
t = np.linspace(0, 12, 2000) # ajustar o máximo para ver mais crescimento
yt = y(t)
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, yt, label=r'\(y(t)=-\operatorname{sinh}(t/\sqrt{2})\sin(t/\sqrt{2})\)')
# desenho do envelope +/- 0.5*e^{t/sqrt(2)} para referência
envelope = 0.5*np.exp(t/np.sqrt(2))
plt.plot(t, envelope, 'k--', linewidth=0.8, label='envelope ~ \(\tfrac12 e^{t/\sqrt{2}}\)')
plt.plot(t, -envelope, 'k--', linewidth=0.8)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVIs: \(y^{(4)}+y=0\) com condições iniciais dadas')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
Observação prática: escolher uma escala de t (por exemplo até t=12) permite ver a oscilação com crescimento exponencial; aumentar o intervalo mostrará o crescimento dominando a oscilação.
Resposta
y(t)=-\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr)\n
A solução é oscilatória com envelope que cresce exponencialmente; portanto y(t) diverge (não converge) quando t\to\infty.