Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}y^{(4)}+y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=-1, y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se resolva o problema de valor inicial, se plote o gráfico da solução e se comente o comportamento quando t\to\infty\). Os dados são: \[\begin{cases} y^{(4)}+y=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0,\\[4pt] y''(0)=-1,\quad y^{(3)}(0)=0. \end{cases}
As perguntas que preciso responder são:
  • Encontrar explicitamente a função y(t)\] que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. - Fornecer um gráfico (instruções/código para plotar) dessa solução. - Dizer o comportamento de \(y(t) quando t\to\infty.]

Passo 2

Vamos explicar o método passo a passo (aula rápida e prática).
  • Para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a técnica padrão é usar a equação característica: substituir y=e^{rt} dá um polinômio em r. As raízes desse polinômio nos dão a forma geral da solução.
  • Aqui a equação característica é
r^4+1=0.
  • Uma forma prática de fatorar r^4+1 é buscar quadráticas reais. Podemos verificar que
r^4+1=(r^2+\sqrt{2}\,r+1)(r^2-\sqrt{2}\,r+1).
(Verificação rápida: multiplicando as duas quadráticas o termo em r^3 cancela e o termo em r^2 fica (-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})+2= -2+2=0, resultando em r^4+1.)
  • Cada fator quadrático fornece um par de raízes complexas conjugadas. As raízes são
r=\frac{\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2} \quad\text{e}\quad r=\frac{-\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2}.
Definindo
\gamma=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}},
essas raízes são r=\gamma\pm i\gamma e r=-\gamma\pm i\gamma.

Passo 3

Como consequência, a solução geral real é combinação das soluções associadas a cada par complexo conjugado. Para um par r=\alpha\pm i\beta a solução real típica é e^{\alpha t}(C\cos\beta t + D\sin\beta t). Aplicando isso aos nossos pares com \alpha=\pm\gamma e \beta=\gamma, obtemos a forma geral
y(t)=e^{\gamma t}\bigl(A\cos(\gamma t)+B\sin(\gamma t)\bigr) +e^{-\gamma t}\bigl(C\cos(\gamma t)+D\sin(\gamma t)\bigr),
onde A,B,C,D são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Vou usar essa forma para calcular derivadas e impor as condições em t=0.

Passo 4

Calculamos derivadas e avaliamos em t=0. Para economia de contas, uso fórmulas padrão para derivadas de u(t)=e^{\alpha t}(P\cos\beta t+Q\sin\beta t):
u'(0)=\alpha P+\beta Q,\qquad u''(0)=(\alpha^2-\beta^2)P+2\alpha\beta Q,
u^{(3)}(0)=\alpha(\alpha^2-3\beta^2)P+\beta(3\alpha^2-\beta^2)Q.
Aplicando isso ao primeiro termo com \alpha=\beta=\gamma e coeficientes P=A,Q=B, e ao segundo termo com \alpha=-\gamma e P=C,Q=D, obtemos as contribuições em t=0. Somando os dois termos (primeiro + segundo), as condições iniciais implicam:
  1. y(0)=0\Rightarrow A+C=0.
  2. y'(0)=0\Rightarrow \gamma(A-C)+\gamma(B+D)=0, que simplifica para
\gamma( A-C ) + \gamma( B+D )=0 \quad\Rightarrow\quad A-C + B+D = 0,
mas vou manter o fator \gamma para clareza. (Usarei depois relação entre A e C.)
  1. y''(0)=-1\Rightarrow 2\gamma^2\,(B-D)=-1.
    (Detalhe: após somar as contribuições, o termo proporcional a A+C cancela porque A+C aparece multiplicado por \alpha^2-\beta^2= \gamma^2-\gamma^2=0.)
  2. y^{(3)}(0)=0\Rightarrow \gamma(\gamma^2-3\gamma^2)(A-C)+\gamma(3\gamma^2-\gamma^2)(B+D)=0.
    Simplificando os coeficientes:
\gamma(-2\gamma^2)(A-C)+\gamma(2\gamma^2)(B+D)=0.
Ou seja,
-2\gamma^3(A-C)+2\gamma^3(B+D)=0 \quad\Rightarrow\quad - (A-C) + (B+D)=0.
Agora uso as equações em ordem para resolver constantes.

Passo 5

Resolver o sistema obtido:
  • Da equação 1: C=-A.
  • Substituindo C=-A na equação 2 (forma simples): \gamma( A - C ) + \gamma( B+D )=0 torna-se \gamma(2A)+\gamma(B+D)=0, ou
2\gamma A + \gamma(B+D)=0 \quad\Rightarrow\quad 2A + (B+D)=0. \tag{E2'}
  • A equação 4 (já simplificada) era - (A-C) + (B+D)=0. Substituindo C=-A
- (A-(-A)) + (B+D)= -2A + (B+D)=0 \quad\Rightarrow\quad B+D = 2A. \tag{E4'}
Comparando (E2’) e (E4’):
2A + (B+D)=0 \quad\text{e}\quad B+D=2A.
Somando as duas equações ou substituindo, obtemos
2A + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad 4A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Então C=-A=0. Com A=C=0, (E2’) dá B+D=0, isto é D=-B.
  • Agora use a equação 3: 2\gamma^2(B-D)=-1. Como D=-B, temos B-D=B-(-B)=2B. Então
2\gamma^2(2B)=-1 \quad\Rightarrow\quad 4\gamma^2 B = -1.
Mas \gamma=\dfrac{\sqrt{2}}{2} então \gamma^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Logo 4\gamma^2 = 4\cdot\frac{1}{2}=2. Assim
2B = -1 \quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{1}{2}.
E então D=-B=\tfrac{1}{2}.
Concluímos:
A=C=0,\qquad B=-\tfrac{1}{2},\qquad D=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo essas constantes na solução geral:
y(t)=e^{\gamma t}\bigl(0\cdot\cos(\gamma t)-\tfrac{1}{2}\sin(\gamma t)\bigr) +e^{-\gamma t}\bigl(0\cdot\cos(\gamma t)+\tfrac{1}{2}\sin(\gamma t)\bigr).
Ou seja
y(t)=-\tfrac{1}{2}e^{\gamma t}\sin(\gamma t)+\tfrac{1}{2}e^{-\gamma t}\sin(\gamma t) =\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-\gamma t}-e^{\gamma t}\bigr)\sin(\gamma t).
Reconhecendo a definição da funçao hiperbólica \operatorname{sinh}, obtemos a forma compacta e bonita
\boxed{\,y(t) = -\operatorname{sinh}(\gamma t)\,\sin(\gamma t)\,} \quad\text{com}\quad \gamma=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Também é equivalente escrever
y(t)=-\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 7

Comportamento quando t\to\infty:
  • Sabendo que \operatorname{sinh}(x)\sim \tfrac{1}{2}e^{x} para x\to\infty, e que \sin é limitado entre -1 e 1, o produto \operatorname{sinh}(\tfrac{t}{\sqrt{2}})\sin(\tfrac{t}{\sqrt{2}}) cresce em módulo aproximadamente como \tfrac{1}{2}e^{t/\sqrt{2}} multiplicado por uma oscilação de amplitude limitada.
  • Logo y(t) é uma função oscilatória cujo envelope cresce exponencialmente. Em particular y(t) não converge quando t\to\infty; seu módulo cresce sem limite (diverge), com oscilações de sinal. Em termos simples:
y(t)\\ \text{é oscilatória e}\quad |y(t)|\sim \tfrac{1}{2}e^{t/\sqrt{2}}\\ \text{(cresce exponencialmente)}.éó

Passo 8

Como plottar a solução? Aqui vai um código Python (Matplotlib) pronto para executar; ele plota y(t) em um intervalo razoável, mostrando o crescimento oscilatório.
Python/Matplotlib (copiar e executar num Jupyter ou script):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

gamma = 1/np.sqrt(2)
def y(t):
    return -np.sinh(gamma*t)*np.sin(gamma*t)

t = np.linspace(0, 12, 2000)   # ajustar o máximo para ver mais crescimento
yt = y(t)

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, yt, label=r'\(y(t)=-\operatorname{sinh}(t/\sqrt{2})\sin(t/\sqrt{2})\)')
# desenho do envelope +/- 0.5*e^{t/sqrt(2)} para referência
envelope = 0.5*np.exp(t/np.sqrt(2))
plt.plot(t, envelope, 'k--', linewidth=0.8, label='envelope ~ \(\tfrac12 e^{t/\sqrt{2}}\)')
plt.plot(t, -envelope, 'k--', linewidth=0.8)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVIs: \(y^{(4)}+y=0\) com condições iniciais dadas')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
  • Observação prática: escolher uma escala de t (por exemplo até t=12) permite ver a oscilação com crescimento exponencial; aumentar o intervalo mostrará o crescimento dominando a oscilação.

Resposta

y(t)=-\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr)\n
A solução é oscilatória com envelope que cresce exponencialmente; portanto y(t) diverge (não converge) quando t\to\infty.

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