Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty. \left\{\begin{array}{l}2 y^{(4)}-y^{\prime \prime \prime}-9 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(0)=-2, y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=-2, y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.
Método que vamos usar (explicando a teoria de forma didática):
Para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO obtemos um polinômio em r, chamado de equação característica.
Se a equação característica tem raízes reais distintas r_1,\dots,r_n, então a solução geral é
onde C_i são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Se houver raízes complexas ou múltiplas, teria-se termos com senos/cossenos ou fatores polinomiais multiplicando e^{rt}; aqui veremos que as raízes serão reais e distintas (o que simplifica).
Depois de escrever a solução geral com constantes C_i, derivamos até a ordem necessária e aplicamos as condições iniciais para montar um sistema linear para as constantes C_i. Resolvem-se essas equações (eliminação, regra de Cramer, etc.).
Passo 3
Formação e fatoração da equação característica:
Substituindo y=e^{r t} obtemos a equação característica
2 r^{4}-r^{3}-9 r^{2}+4 r+4=0.
Testando raízes racionais simples, verificamos que r=1 é raiz (substituindo dá zero). Logo dividimos por r-1. Fazendo a divisão (síntese ou divisão polinomial) obtemos o quociente
2 r^{3}+r^{2}-8 r-4.
Testando novamente, vemos que r=2 é raiz do cúbico. Dividindo por r-2 obtemos
Para eliminar C_1\] subtraímos a primeira equação das outras três:
\[\begin{aligned} &(\text{E2})-(\text{E1}):\quad C_2 -\tfrac{3}{2}C_3 -3 C_4 = 2,\\[4pt] &(\text{E3})-(\text{E1}):\quad 3 C_2 -\tfrac{3}{4}C_3 +3 C_4 = 0,\\[4pt] &(\text{E4})-(\text{E1}):\quad 7 C_2 -\tfrac{9}{8}C_3 -9 C_4 = 2. \end{aligned}\]
- Da segunda dessas três (simplificando por \(3) obtemos
Como plotar o gráfico (instruções práticas e código):
Recomendo usar Python com NumPy e Matplotlib. Exemplo de código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
defy(t):
return (-2/3)*np.exp(t) - (1/10)*np.exp(2*t) - (16/15)*np.exp(-t/2) - (1/6)*np.exp(-2*t)
t = np.linspace(-5, 3, 800) # escolha de intervalo para visualizar bem o comportamento
yt = y(t)
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, yt, lw=2)
plt.axhline(0, color='k', lw=0.7)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVI: y(t) = -2/3 e^{t} - 1/10 e^{2t} - 16/15 e^{-t/2} - 1/6 e^{-2t}')
plt.grid(True)
plt.ylim(-50, 10) # ajustar conforme necessário para visualizar
plt.show()
Dica: como a solução tem termos crescentes ( e^{t} e e^{2t} ) e termos decrescentes (e^{-t/2}, e^{-2t}), escolha o intervalo de t conforme o que quer visualizar. Para ver a explosão exponencial positiva, use t até valores maiores (por exemplo até t=5 ou t=6); para ver o comportamento para t<0 inclua valores negativos.
Passo 8
Comportamento quando t\rightarrow\infty (análise assintótica):
A solução é combinação de exponenciais e^{t},e^{2t},e^{-t/2},e^{-2t}.
Para t\to\infty os termos e^{-t/2} e e^{-2t} tendem a 0. Os termos e^{t} e e^{2t} crescem exponencialmente; entre eles o dominante é e^{2t}.
O coeficiente do termo dominante e^{2t} é C_2=-\tfrac{1}{10}<0. Portanto o termo dominante tende a -\infty quando t\to\infty.
Conclusão: y(t) diverge para -\infty quando t\rightarrow\infty.
Resposta
y(t)=-\dfrac{2}{3}e^{t}-\dfrac{1}{10}e^{2t}-\dfrac{16}{15}e^{-t/2}-\dfrac{1}{6}e^{-2t}\n y(t)\rightarrow -\infty quando t\rightarrow\infty.