Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}2 y^{(4)}-y^{\prime \prime \prime}-9 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(0)=-2, y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=-2, y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} 2\,y^{(4)}-y^{\prime\prime\prime}-9\,y^{\prime\prime}+4\,y^{\prime}+4\,y=0,\\[4pt] y(0)=-2,\quad y'(0)=0,\\[4pt] y''(0)=-2,\quad y'''(0)=0. \end{array}\right.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.
  • Plotar o gráfico da solução (vou fornecer um código que gera o gráfico).
  • Dizer como y(t) se comporta quando t\rightarrow\infty.
As informações relevantes (retomando em símbolos):
  • EDO linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes: 2\,y^{(4)}-y^{\prime\prime\prime}-9\,y^{\prime\prime}+4\,y^{\prime}+4\,y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=-2,\;y'(0)=0,\;y''(0)=-2,\;y'''(0)=0.]

Passo 2

Método que vamos usar (explicando a teoria de forma didática):
  • Para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO obtemos um polinômio em r, chamado de equação característica.
  • Se a equação característica tem raízes reais distintas r_1,\dots,r_n, então a solução geral é
y(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}+\cdots+C_n e^{r_n t},
onde C_i são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Se houver raízes complexas ou múltiplas, teria-se termos com senos/cossenos ou fatores polinomiais multiplicando e^{rt}; aqui veremos que as raízes serão reais e distintas (o que simplifica).
  • Depois de escrever a solução geral com constantes C_i, derivamos até a ordem necessária e aplicamos as condições iniciais para montar um sistema linear para as constantes C_i. Resolvem-se essas equações (eliminação, regra de Cramer, etc.).

Passo 3

Formação e fatoração da equação característica:
  • Substituindo y=e^{r t} obtemos a equação característica
2 r^{4}-r^{3}-9 r^{2}+4 r+4=0.
  • Testando raízes racionais simples, verificamos que r=1 é raiz (substituindo dá zero). Logo dividimos por r-1. Fazendo a divisão (síntese ou divisão polinomial) obtemos o quociente
2 r^{3}+r^{2}-8 r-4.
  • Testando novamente, vemos que r=2 é raiz do cúbico. Dividindo por r-2 obtemos
2 r^{2}+5 r+2.
  • Resolver a quadrática:
2 r^{2}+5 r+2=0 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{-5\pm3}{4}.
Isso dá r=-\tfrac{1}{2} e r=-2.
  • Portanto as quatro raízes reais e distintas são
r_1=1,\quad r_2=2,\quad r_3=-\tfrac{1}{2},\quad r_4=-2.

Passo 4

Escrevendo a solução geral e suas derivadas:
  • Como as raízes são distintas e reais, a solução geral é
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{2t}+C_3 e^{-t/2}+C_4 e^{-2t},
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes a determinar.
  • Derivadas necessárias (aplicando a regra \dfrac{d}{dt}e^{\alpha t}=\alpha e^{\alpha t}):
\begin{aligned} y'(t)&=C_1 e^{t}+2 C_2 e^{2t}-\tfrac{1}{2}C_3 e^{-t/2}-2 C_4 e^{-2t},\\[4pt] y''(t)&=C_1 e^{t}+4 C_2 e^{2t}+\tfrac{1}{4}C_3 e^{-t/2}+4 C_4 e^{-2t},\\[4pt] y'''(t)&=C_1 e^{t}+8 C_2 e^{2t}-\tfrac{1}{8}C_3 e^{-t/2}-8 C_4 e^{-2t}. \end{aligned}]

Passo 5

Aplicando as condições iniciais e montando o sistema linear:
  • Avaliando em t=0\) (onde \(e^{0}=1\)) obtemos o sistema \[\begin{cases} C_1 + C_2 + C_3 + C_4 = -2,\\[4pt] C_1 + 2 C_2 -\tfrac{1}{2} C_3 -2 C_4 = 0,\\[4pt] C_1 + 4 C_2 + \tfrac{1}{4} C_3 +4 C_4 = -2,\\[4pt] C_1 + 8 C_2 -\tfrac{1}{8} C_3 -8 C_4 = 0. \end{cases}
  • Para eliminar C_1\] subtraímos a primeira equação das outras três: \[\begin{aligned} &(\text{E2})-(\text{E1}):\quad C_2 -\tfrac{3}{2}C_3 -3 C_4 = 2,\\[4pt] &(\text{E3})-(\text{E1}):\quad 3 C_2 -\tfrac{3}{4}C_3 +3 C_4 = 0,\\[4pt] &(\text{E4})-(\text{E1}):\quad 7 C_2 -\tfrac{9}{8}C_3 -9 C_4 = 2. \end{aligned}\] - Da segunda dessas três (simplificando por \(3) obtemos
C_2 -\tfrac{1}{4}C_3 + C_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{1}{4}C_3 - C_4.
  • Substituindo esse C_2 nas outras duas equações e eliminando ficamos com um sistema para C_3 e C_4. Após fazer as operações (mostradas resumidamente):
\begin{aligned} 5 C_3 + 16 C_4 &= -8,\\[4pt] 5 C_3 -128 C_4 &= 16. \end{aligned}
  • Subtraindo essas duas equações obtém-se
-144 C_4 = 24 \quad\Rightarrow\quad C_4 = -\tfrac{1}{6}.
  • Substituindo em 5 C_3 +16 C_4 = -8:
5 C_3 +16\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr) = -8 \quad\Rightarrow\quad 5 C_3 -\tfrac{8}{3} = -8,
portanto
5 C_3 = -8 +\tfrac{8}{3} = -\tfrac{16}{3} \quad\Rightarrow\quad C_3 = -\tfrac{16}{15}.
  • Agora C_2 = \tfrac{1}{4}C_3 - C_4 = \tfrac{1}{4}\bigl(-\tfrac{16}{15}\bigr) -\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr) = -\tfrac{4}{15} + \tfrac{1}{6} = -\tfrac{1}{10}.
  • Finalmente C_1 vem da primeira equação:
C_1 = -2 - C_2 - C_3 - C_4 = -2 -\bigl(-\tfrac{1}{10}\bigr) -\bigl(-\tfrac{16}{15}\bigr) -\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr)= -\tfrac{2}{3}.]

Passo 6

Apresentando a solução particular:
  • Os coeficientes encontrados são
C_1=-\tfrac{2}{3},\quad C_2=-\tfrac{1}{10},\quad C_3=-\tfrac{16}{15},\quad C_4=-\tfrac{1}{6}.
  • Logo a solução que satisfaz as condições iniciais é
\boxed{\,y(t)=-\tfrac{2}{3}e^{t}-\tfrac{1}{10}e^{2t}-\tfrac{16}{15}e^{-t/2}-\tfrac{1}{6}e^{-2t}\,.}

Passo 7

Como plotar o gráfico (instruções práticas e código):
  • Recomendo usar Python com NumPy e Matplotlib. Exemplo de código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def y(t):
    return (-2/3)*np.exp(t) - (1/10)*np.exp(2*t) - (16/15)*np.exp(-t/2) - (1/6)*np.exp(-2*t)

t = np.linspace(-5, 3, 800)   # escolha de intervalo para visualizar bem o comportamento
yt = y(t)

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, yt, lw=2)
plt.axhline(0, color='k', lw=0.7)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVI: y(t) = -2/3 e^{t} - 1/10 e^{2t} - 16/15 e^{-t/2} - 1/6 e^{-2t}')
plt.grid(True)
plt.ylim(-50, 10)  # ajustar conforme necessário para visualizar
plt.show()
  • Dica: como a solução tem termos crescentes ( e^{t} e e^{2t} ) e termos decrescentes ( e^{-t/2}, e^{-2t}), escolha o intervalo de t conforme o que quer visualizar. Para ver a explosão exponencial positiva, use t até valores maiores (por exemplo até t=5 ou t=6); para ver o comportamento para t<0 inclua valores negativos.

Passo 8

Comportamento quando t\rightarrow\infty (análise assintótica):
  • A solução é combinação de exponenciais e^{t},e^{2t},e^{-t/2},e^{-2t}.
  • Para t\to\infty os termos e^{-t/2} e e^{-2t} tendem a 0. Os termos e^{t} e e^{2t} crescem exponencialmente; entre eles o dominante é e^{2t}.
  • O coeficiente do termo dominante e^{2t} é C_2=-\tfrac{1}{10}<0. Portanto o termo dominante tende a -\infty quando t\to\infty.
  • Conclusão: y(t) diverge para -\infty quando t\rightarrow\infty.

Resposta

y(t)=-\dfrac{2}{3}e^{t}-\dfrac{1}{10}e^{2t}-\dfrac{16}{15}e^{-t/2}-\dfrac{1}{6}e^{-2t}\n
y(t)\rightarrow -\infty quando t\rightarrow\infty.

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