Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}=0 \\\ y(1)=-1, y^{\prime}(1)=2 \\\ y^{\prime \prime}(1)=0, y^{\prime \prime \prime}(1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o problema de valor inicial dado e que apresente o gráfico da solução; também pede para analisar o comportamento quando t\to\infty.
Informações dadas:
  • EDO linear de coeficientes constantes de ordem 4:
y^{(4)}-4y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}=0
  • Condições iniciais (todas avaliadas em t=1):
y(1)=-1,\quad y'(1)=2,\quad y''(1)=0,\quad y'''(1)=0.

Passo 2

Primeiro passo técnico: montar a equação característica associada à EDO. Para uma EDO linear com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo dá a equação polinomial em r:
r^{4}-4r^{3}+4r^{2}=0.
Fatorando:
r^{4}-4r^{3}+4r^{2}=r^{2}\bigl(r^{2}-4r+4\bigr)=r^{2}(r-2)^{2}.
Assim as raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=2 com multiplicidade 2.
Explicação didática curta: quando a equação característica tem uma raiz r_0 de multiplicidade m, as soluções associadas são e^{r_0 t}, t e^{r_0 t}, \dots, t^{m-1} e^{r_0 t}. Isso aparece por causa de termos independentes linearmente gerados por multiplicidade (é padrão em EDOs lineares).

Passo 3

A partir das raízes obtemos a solução geral da EDO:
y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}t e^{2t},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Breve comentário: os termos C_{1}+C_{2}t correspondem à raiz r=0 (multiplicidade 2) e os termos C_{3}e^{2t}+C_{4}t e^{2t} correspondem à raiz r=2 (multiplicidade 2).

Passo 4

Agora calculo as derivadas necessárias de forma explícita (para aplicar as condições iniciais). Vou mostrar passo a passo e explicar as regras usadas (derivada de e^{2t} é 2e^{2t}; produto usa a regra do produto).
Começo de y(t):
y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}t e^{2t}.
Derivada primeira:
  • \dfrac{d}{dt}(C_{1})=0,
  • \dfrac{d}{dt}(C_{2}t)=C_{2},
  • \dfrac{d}{dt}(C_{3}e^{2t})=2C_{3}e^{2t},
  • \dfrac{d}{dt}(C_{4}t e^{2t})=C_{4}e^{2t}+2C_{4}t e^{2t}=C_{4}e^{2t}(1+2t).
Portanto
y'(t)=C_{2}+e^{2t}\bigl(2C_{3}+C_{4}(1+2t)\bigr).
Derivada segunda: derivo termo a termo (usar que \dfrac{d}{dt} e^{2t}=2e^{2t} e derivada de 1+2t é 2):
  • de 2C_{3}e^{2t} vem 4C_{3}e^{2t},
  • de C_{4}e^{2t}(1+2t) aplicando produto dá 2C_{4}e^{2t}(1+2t)+C_{4}e^{2t}\cdot 2 =4C_{4}e^{2t}(1+t).
Logo
y''(t)=e^{2t}\bigl(4C_{3}+4C_{4}(1+t)\bigr).
Derivada terceira: defina B(t)=4C_{3}+4C_{4}(1+t)=4C_{3}+4C_{4}+4C_{4}t. Então
y'''(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(e^{2t}B(t)\bigr)=2e^{2t}B(t)+e^{2t}B'(t).
Como B'(t)=4C_{4},
y'''(t)=e^{2t}\bigl(8C_{3}+12C_{4}+8C_{4}t\bigr).
(Não é necessário calcular a quarta derivada porque o sistema de condições usa até a terceira.)

Passo 5

Avalio y,y',y'',y''' em t=1 e aplico as condições iniciais. Avaliando em t=1 (uso que e^{2\cdot 1}=e^{2}):
  1. Condição y(1)=-1:
y(1)=C_{1}+C_{2}+e^{2}(C_{3}+C_{4})=-1.
  1. Condição y'(1)=2:
y'(1)=C_{2}+e^{2}\bigl(2C_{3}+3C_{4}\bigr)=2.
  1. Condição y''(1)=0:
y''(1)=e^{2}\bigl(4C_{3}+8C_{4}\bigr)=0.
Como e^{2}\neq 0, obtemos
4C_{3}+8C_{4}=0\quad\Longrightarrow\quad C_{3}+2C_{4}=0.
  1. Condição y'''(1)=0:
y'''(1)=e^{2}\bigl(8C_{3}+20C_{4}\bigr)=0\quad\Longrightarrow\quad 8C_{3}+20C_{4}=0.

Passo 6

Resolver o sistema obtido para [C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}).
Das equações para C_{3},C_{4}:
\begin{cases} C_{3}+2C_{4}=0,\\[4pt] 8C_{3}+20C_{4}=0. \end{cases}
Substituindo C_{3}=-2C_{4}\] na segunda equação: \[8(-2C_{4})+20C_{4}=-16C_{4}+20C_{4}=4C_{4}=0\Rightarrow C_{4}=0.\] Então \[C_{3}=-2\cdot 0=0.
Agora das duas primeiras equações:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}+e^{2}(0)= -1,\\[4pt] C_{2}+e^{2}(0)=2. \end{cases}
Da segunda vem (C_{2}=2]. Da primeira:
C_{1}+2=-1\Rightarrow C_{1}=-3.
Portanto
C_{1}=-3,\quad C_{2}=2,\quad C_{3}=0,\quad C_{4}=0.]

Passo 7

Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t)=-3+2t.
Comentário didático: todas as componentes exponenciais desapareceram porque as condições no instante t=1 forçaram C_{3}=C_{4}=0. Isso faz com que a solução efetiva seja a parte polinomial associada à raiz r=0.
Gráfico: a solução é uma reta de coeficiente angular 2 e intercepto em -3. Para plotar numericamente (ex.: Python + matplotlib), use algo como:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(-1, 5, 400)   # escolha intervalo de visualização
y = -3 + 2*t
plt.plot(t, y, label=r'\(y(t)=-3+2t\)')
plt.axhline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.grid(True)
plt.show()

Passo 8

Comportamento quando t\to\infty: como y(t)=-3+2t, cresce linearmente sem limite superior. Formalmente,
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{t\to\infty}(-3+2t)=+\infty.

Resposta

y(t)=-3+2t
\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=+\infty

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