Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty. \left\{\begin{array}{l}y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}=0 \\\ y(1)=-1, y^{\prime}(1)=2 \\\ y^{\prime \prime}(1)=0, y^{\prime \prime \prime}(1)=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva o problema de valor inicial dado e que apresente o gráfico da solução; também pede para analisar o comportamento quando t\to\infty.
Primeiro passo técnico: montar a equação característica associada à EDO. Para uma EDO linear com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo dá a equação polinomial em r:
Assim as raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=2 com multiplicidade 2.
Explicação didática curta: quando a equação característica tem uma raiz r_0 de multiplicidade m, as soluções associadas são e^{r_0 t}, t e^{r_0 t}, \dots, t^{m-1} e^{r_0 t}. Isso aparece por causa de termos independentes linearmente gerados por multiplicidade (é padrão em EDOs lineares).
Passo 3
A partir das raízes obtemos a solução geral da EDO:
y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}t e^{2t},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Breve comentário: os termos C_{1}+C_{2}t correspondem à raiz r=0 (multiplicidade 2) e os termos C_{3}e^{2t}+C_{4}t e^{2t} correspondem à raiz r=2 (multiplicidade 2).
Passo 4
Agora calculo as derivadas necessárias de forma explícita (para aplicar as condições iniciais). Vou mostrar passo a passo e explicar as regras usadas (derivada de e^{2t} é 2e^{2t}; produto usa a regra do produto).
Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t)=-3+2t.
Comentário didático: todas as componentes exponenciais desapareceram porque as condições no instante t=1 forçaram C_{3}=C_{4}=0. Isso faz com que a solução efetiva seja a parte polinomial associada à raiz r=0.
Gráfico: a solução é uma reta de coeficiente angular 2 e intercepto em -3. Para plotar numericamente (ex.: Python + matplotlib), use algo como:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(-1, 5, 400) # escolha intervalo de visualização
y = -3 + 2*t
plt.plot(t, y, label=r'\(y(t)=-3+2t\)')
plt.axhline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.grid(True)
plt.show()
Passo 8
Comportamento quando t\to\infty: como y(t)=-3+2t, cresce linearmente sem limite superior. Formalmente,