Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede-se a solução da equação diferencial linear de ordem 3 com condições iniciais:
\begin{cases} 4 y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0,\\[4pt] y(0)=2,\; y^{\prime}(0)=1,\; y^{\prime\prime}(0)=-1. \end{cases}
  • Também pede para traçar (plotar) o gráfico da solução e dizer como ela se comporta quando t\to\infty.
Observações úteis que vou usar (a partir daqui):
  • Para equações lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Isso leva à equação característica (polinômio em r) cuja raiz determina os termos da solução geral.
  • Se a raiz for real r temos e^{rt}. Se for raiz complexa conjugada a\pm i b isso gera um termo e^{at}(C\cos bt + D\sin bt).]

Passo 2

Formar e resolver a equação característica.
Procuramos y=e^{rt}. Substituindo em 4y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0 obtemos a equação característica
4r^{3}+r+5=0.
Testando raízes racionais simples, r=-1 satisfaz:
4(-1)^{3}+(-1)+5 = -4-1+5=0,
logo r=-1 é uma raiz. Agora dividimos o polinômio por (r+1) para achar as outras raízes. A divisão (ou síntese) dá quociente
4r^{2}-4r+5.
Logo as outras raízes são as soluções de
4r^{2}-4r+5=0.
Calcule o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot4\cdot5 = 16-80 = -64.
Portanto as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{4\pm\sqrt{-64}}{8} = \frac{4\pm 8i}{8} = \frac{1}{2}\pm i.

Passo 3

Escrever a solução geral a partir das raízes encontradas.
Temos uma raiz real r_{1}=-1 e um par conjugado r_{2,3}=\dfrac{1}{2}\pm i. Pela teoria:
  • Para r_{1}=-1 o termo é C_{1}e^{-t}.
  • Para r_{2,3}=\dfrac{1}{2}\pm i os termos reais correspondem a e^{t/2}(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t).
Portanto a solução geral é
y(t) = C_{1}e^{-t} + e^{t/2}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr).
Aqui C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calcular y'(t) e y''(t) explicitamente (passo a passo) para aplicar as condições iniciais.
Começo definindo
u(t)=e^{t/2}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr).
Então y(t)=C_{1}e^{-t}+u(t).
Derivo u(t) com cuidado (produto e derivadas trigonométricas):
u'(t)=e^{t/2}\Bigl(\tfrac{1}{2}(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t) + (-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t)\Bigr).
Agrupando coeficientes de \cos t e \sin t escrevo
u'(t)=e^{t/2}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr),
onde
A=\tfrac{1}{2}C_{2}+C_{3},\qquad B=\tfrac{1}{2}C_{3}-C_{2}.
Derivo novamente:
u''(t)=e^{t/2}\Bigl(\tfrac{1}{2}(A\cos t + B\sin t) + (-A\sin t + B\cos t)\Bigr).
Agrupando termos em \cos t
u''(t)=e^{t/2}\bigl((\tfrac{1}{2}A + B)\cos t + (\tfrac{1}{2}B - A)\sin t\bigr).
Agora y, y' e y'' ficam:
y(t)=C_{1}e^{-t}+u(t),
y'(t)=-C_{1}e^{-t}+u'(t)= -C_{1}e^{-t} + e^{t/2}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr),
y''(t)=C_{1}e^{-t}+u''(t)= C_{1}e^{-t} + e^{t/2}\bigl((\tfrac{1}{2}A + B)\cos t + (\tfrac{1}{2}B - A)\sin t\bigr).
Para aplicar condições iniciais precisamos das expressões em t=0. Avaliando essas expressões em t=0 (observe e^{0}=1,\cos0=1,\sin0=0):
  • y(0)=C_{1}+C_{2}.
  • y'(0)=-C_{1}+A = -C_{1} + \bigl(\tfrac{1}{2}C_{2}+C_{3}\bigr).
  • y''(0)=C_{1}+(\tfrac{1}{2}A + B).
Agora calcule \tfrac{1}{2}A + B em termos de C_{2},C_{3}:
\tfrac{1}{2}A + B = \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2}C_{2}+C_{3}\bigr) + \bigl(\tfrac{1}{2}C_{3}-C_{2}\bigr) = -\tfrac{3}{4}C_{2} + C_{3}.
Resumindo as condições iniciais em forma de sistema linear:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] -\,C_{1} + \bigl(\tfrac{1}{2}C_{2}+C_{3}\bigr)=1,\\[4pt] C_{1} + \bigl(-\tfrac{3}{4}C_{2} + C_{3}\bigr) = -1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para C_{1},C_{2},C_{3} passo a passo.
Das equações:
(1) C_{1}+C_{2}=2.
(2) -C_{1} + \tfrac{1}{2}C_{2} + C_{3} =1.
(3) C_{1} -\tfrac{3}{4}C_{2} + C_{3} = -1.
Da (1) temos C_{1}=2-C_{2}. Substituo em (2) e (3):
  • Em (2):
-(2-C_{2}) + \tfrac{1}{2}C_{2} + C_{3}=1
-2 + C_{2} + \tfrac{1}{2}C_{2} + C_{3}=1
\frac{3}{2}C_{2} + C_{3} = 3
Multiplicando por 2:
3C_{2} + 2C_{3} = 6. \qquad (A)
  • Em (3):
(2-C_{2}) -\tfrac{3}{4}C_{2} + C_{3} = -1
2 - \frac{7}{4}C_{2} + C_{3} = -1
- \frac{7}{4}C_{2} + C_{3} = -3
Multiplicando por 4:
-7 C_{2} + 4 C_{3} = -12.
Ou equivalentemente
7 C_{2} - 4 C_{3} = 12. \qquad (B)
Resolver o sistema (A) e (B):
  • (A): 3C_{2} + 2C_{3} = 6.
  • (B): 7C_{2} - 4C_{3} = 12.
Multiplique (A) por 2: 6C_{2} + 4C_{3} = 12. Some com (B):
(7C_{2}-4C_{3}) + (6C_{2}+4C_{3}) = 12 + 12 \implies 13 C_{2} = 24.
Logo
C_{2} = \frac{24}{13}.
Substituindo em (A):
3\cdot\frac{24}{13} + 2C_{3} = 6 \implies \frac{72}{13} + 2C_{3} = 6 \implies 2C_{3} = 6 - \frac{72}{13} = \frac{6\cdot 13 - 72}{13} = \frac{78-72}{13}=\frac{6}{13}.
Logo
C_{3} = \frac{3}{13}.
Finalmente C_{1}=2-C_{2}=2-\dfrac{24}{13}=\dfrac{2\cdot13-24}{13}=\dfrac{2}{13}.

Passo 6

Escrever a solução particular com as constantes encontradas e simplificar.
Substituindo C_{1}=\dfrac{2}{13}, C_{2}=\dfrac{24}{13}, C_{3}=\dfrac{3}{13} na expressão geral:
y(t) = \frac{2}{13}e^{-t} + e^{t/2}\!\left(\frac{24}{13}\cos t + \frac{3}{13}\sin t\right).
Fatorando 1/13 para ficar mais compacto:
y(t) = \frac{1}{13}\Bigl(2e^{-t} + e^{t/2}\bigl(24\cos t + 3\sin t\bigr)\Bigr).

Passo 7

Como plotar o gráfico da solução (instruções práticas).
Aqui vai um exemplo de código em Python usando matplotlib. Copie e execute num ambiente local (Jupyter, script Python) para gerar o gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def y(t):
    return (1/13)*(2*np.exp(-t) + np.exp(t/2)*(24*np.cos(t) + 3*np.sin(t)))

t = np.linspace(0, 10, 1000)   # ajustar intervalo (0,10) para ver comportamento inicial e crescimento
yt = y(t)

plt.figure(figsize=(8,4.5))
plt.plot(t, yt, label='y(t)')
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.8)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVI: \(4y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0\), com \(y(0)=2\), \(y\'(0)=1\), \(y\'\'(0)=-1\)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Dica: como a solução tem um fator e^{t/2} multiplicando termos oscilatórios, para visualizar a oscilação crescente é útil plotar até t relativamente grande (por exemplo t até 10 ou 12). Para ver comportamento em escala logarítmica vertical também pode-se plotar |y(t)| em escala semilog.

Passo 8

Comportamento quando t\to\infty.
Observe os termos da solução:
\frac{2}{13}e^{-t}\quad\text{(decai para 0 quando \(t\to\infty\))},
e
e^{t/2}\bigl(\tfrac{24}{13}\cos t + \tfrac{3}{13}\sin t\bigr)\quad\text{(cresce como }e^{t/2}\text{, multiplicado por uma função oscilatória).}çãó
Como a parte dominante é e^{t/2} com coeficientes não nulos em \cos t e \sin t, a solução não se estabiliza: ela cresce exponencialmente em módulo enquanto oscila (sinal e amplitude oscilam). Portanto
y(t)\to\text{infinito em módulo (diverge), com comportamento oscilatório e crescimento do tipo }e^{t/2}.óó

Resposta

y(t)=\frac{1}{13}\Bigl(2e^{-t} + e^{t/2}\bigl(24\cos t + 3\sin t\bigr)\Bigr).
Quando t\to\infty: y(t) diverge em módulo (cresce exponencialmente como e^{t/2}) e oscila (componente oscilatória \cos t,\sin t).

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