Resolva cada um dos problemas de valores iniciais abaixo e plote o gráfico da solução. Responda também como esta solução se comporta quando t \rightarrow \infty. \left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=-1\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
Pede-se a solução da equação diferencial linear de ordem 3 com condições iniciais:
Também pede para traçar (plotar) o gráfico da solução e dizer como ela se comporta quando t\to\infty.
Observações úteis que vou usar (a partir daqui):
Para equações lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Isso leva à equação característica (polinômio em r) cuja raiz determina os termos da solução geral.
Se a raiz for real r temos e^{rt}. Se for raiz complexa conjugada a\pm i b isso gera um termo e^{at}(C\cos bt + D\sin bt).]
Passo 2
Formar e resolver a equação característica.
Procuramos y=e^{rt}. Substituindo em 4y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0 obtemos a equação característica
4r^{3}+r+5=0.
Testando raízes racionais simples, r=-1 satisfaz:
4(-1)^{3}+(-1)+5 = -4-1+5=0,
logo r=-1 é uma raiz. Agora dividimos o polinômio por (r+1) para achar as outras raízes. A divisão (ou síntese) dá quociente
4r^{2}-4r+5.
Logo as outras raízes são as soluções de
4r^{2}-4r+5=0.
Calcule o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot4\cdot5 = 16-80 = -64.
Portanto as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{4\pm\sqrt{-64}}{8} = \frac{4\pm 8i}{8} = \frac{1}{2}\pm i.
Passo 3
Escrever a solução geral a partir das raízes encontradas.
Temos uma raiz real r_{1}=-1 e um par conjugado r_{2,3}=\dfrac{1}{2}\pm i. Pela teoria:
Para r_{1}=-1 o termo é C_{1}e^{-t}.
Para r_{2,3}=\dfrac{1}{2}\pm i os termos reais correspondem a e^{t/2}(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t).
Portanto a solução geral é
y(t) = C_{1}e^{-t} + e^{t/2}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr).
Aqui C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calcular y'(t) e y''(t) explicitamente (passo a passo) para aplicar as condições iniciais.
Começo definindo
u(t)=e^{t/2}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr).
Então y(t)=C_{1}e^{-t}+u(t).
Derivo u(t) com cuidado (produto e derivadas trigonométricas):
u'(t)=e^{t/2}\Bigl(\tfrac{1}{2}(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t) + (-C_{2}\sin t + C_{3}\cos t)\Bigr).
Escrever a solução particular com as constantes encontradas e simplificar.
Substituindo C_{1}=\dfrac{2}{13}, C_{2}=\dfrac{24}{13}, C_{3}=\dfrac{3}{13} na expressão geral:
y(t) = \frac{2}{13}e^{-t} + e^{t/2}\!\left(\frac{24}{13}\cos t + \frac{3}{13}\sin t\right).
Fatorando 1/13 para ficar mais compacto:
y(t) = \frac{1}{13}\Bigl(2e^{-t} + e^{t/2}\bigl(24\cos t + 3\sin t\bigr)\Bigr).
Passo 7
Como plotar o gráfico da solução (instruções práticas).
Aqui vai um exemplo de código em Python usando matplotlib. Copie e execute num ambiente local (Jupyter, script Python) para gerar o gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
defy(t):
return (1/13)*(2*np.exp(-t) + np.exp(t/2)*(24*np.cos(t) + 3*np.sin(t)))
t = np.linspace(0, 10, 1000) # ajustar intervalo (0,10) para ver comportamento inicial e crescimento
yt = y(t)
plt.figure(figsize=(8,4.5))
plt.plot(t, yt, label='y(t)')
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.8)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVI: \(4y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0\), com \(y(0)=2\), \(y\'(0)=1\), \(y\'\'(0)=-1\)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Dica: como a solução tem um fator e^{t/2} multiplicando termos oscilatórios, para visualizar a oscilação crescente é útil plotar até t relativamente grande (por exemplo t até 10 ou 12). Para ver comportamento em escala logarítmica vertical também pode-se plotar |y(t)| em escala semilog.
Passo 8
Comportamento quando t\to\infty.
Observe os termos da solução:
\frac{2}{13}e^{-t}\quad\text{(decai para 0 quando \(t\to\infty\))},
e
e^{t/2}\bigl(\tfrac{24}{13}\cos t + \tfrac{3}{13}\sin t\bigr)\quad\text{(cresce como }e^{t/2}\text{, multiplicado por uma função oscilatória).}çãó
Como a parte dominante é e^{t/2} com coeficientes não nulos em \cos t e \sin t, a solução não se estabiliza: ela cresce exponencialmente em módulo enquanto oscila (sinal e amplitude oscilam). Portanto
y(t)\to\text{infinito em módulo (diverge), com comportamento oscilatório e crescimento do tipo }e^{t/2}.óó
Resposta
y(t)=\frac{1}{13}\Bigl(2e^{-t} + e^{t/2}\bigl(24\cos t + 3\sin t\bigr)\Bigr).
Quando t\to\infty: y(t) diverge em módulo (cresce exponencialmente como e^{t/2}) e oscila (componente oscilatória \cos t,\sin t).