Resolva cada PVI abaixo utilizando o método adequado de sua preferência:
y cos (x)+(y+2) sen(x) d yd x=0, com y(pi / 2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
ycos(x)+(y+2)sin(x),dydx=0, yl(tfracpi2r)=1
Este é um EDO de primeira ordem separável. Vamos separar variáveis em y e x, integrar, e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma de derivada isolada:
(y+2),sin(x),dydx=-ycos(x) Longrightarrow dydx=-ycos(x)(y+2)sin(x)
Agora separamos variáveis:
y+2y,dy=-cos(x)sin(x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integraly+2y,dy =integrall(1+2yr)dy =integral1,dy+2integral1y,dy =y+2ln!l|yr|,
integral-cos(x)sin(x),dx =-integralcot(x),dx =-ln!l|sin(x)r|
Logo a primitiva geral satisfaz
y+2ln!l|yr| =-ln!l|sin(x)r|+C

Passo 4

Aplicamos y(tfracpi2)=1. Como sin(pi/2)=1 e ln|1|=0, temos
1+2ln(1) =-ln(1)+C Longrightarrow 1+0=0+C Longrightarrow C=1
Portanto a solução implícita do PVI é
y+2ln!l|yr| =-ln!l|sin(x)r|+1

Passo 5

Se desejarmos, podemos reescrever de modo ligeiramente diferente:
y+2ln y = 1-lnl(sin xr),
assumindo y>0 no intervalo de interesse.

Resposta

A solução implícita do PVI é
y+2ln!l|yr| =1-ln!l|sin(x)r|

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