Exercício 11.
Suponha que um recipiente no formato de um cilindro circular reto tenha raio da base variável com o tempo a uma taxa de 0,1 cm / s. Suponha aindà que esse cilindro esteja sendo preenchido com um fluido a uma vazão de 9 / 5 cm^3 / s. Determine a velocidade com que o nível da água está variando verticalmente no instante em que o raio da base é 10 cm e o volume é 40 cm^3.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro cujo raio da base varia com o tempo a uma taxa drdt=0,1 cm/s e cujo volume aumenta à razão dVdt=tfrac95 cm^3/s. Queremos encontrar a velocidade dhdt com que a altura h do fluido varia no instante em que r=10 cm e V=40 cm^3. O conteúdo aqui é um problema de taxas relacionadas em geometria de sólidos.

Passo 2

A relação entre volume V, raio r e altura h de um cilindro é
V = pi,r^2,h
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, usando a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos
dVdt = pil(2,r,h,drdt + r^2,dhdtr)

Passo 3

Isolamos dhdt na equação acima:
pi,r^2,dhdt = dVdt - 2,pi,r,h,drdt,
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dhdt = dVdt ;-; 2,pi,r,h,drdt pi,r^2

Passo 4

Precisamos de h no instante dado. Como V=40 cm^3 e r=10 cm, da fórmula do volume segue
40 = pi,(10)^2,h Longrightarrow h = 40100,pi = 0,4pi cm

Passo 5

Agora substituímos dVdt=tfrac95, drdt=0,1, r=10 e h=tfrac0,4pi em
dhdt = tfrac95 - 2,pi,(10),l(tfrac0,4pir),(0,1) pi,(10)^2
Calculando o numerador:
2,pi,(10),0,4pi,(0,1) = 2 times 10 times 0,4 times 0,1 = 0,8,
então
tfrac95 - 0,8 = 1,8 - 0,8 = 1,0
E o denominador é pi,(10)^2 = 100,pi. Assim
dhdt = 1100,pi cm/s

Resposta

dhdt = 1100,pi cm/s

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