Exercício 11.
Suponha que um recipiente no formato de um cilindro circular reto tenha raio da base variável com o tempo a uma taxa de
. Suponha aindà que esse cilindro esteja sendo preenchido com um fluido a uma vazão de
. Determine a velocidade com que o nível da água está variando verticalmente no instante em que o raio da base é 10 cm e o volume é
.
Suponha que um recipiente no formato de um cilindro circular reto tenha raio da base variável com o tempo a uma taxa de
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro cujo raio da base varia com o tempo a uma taxa
e cujo volume aumenta à razão
. Queremos encontrar a velocidade
com que a altura
do fluido varia no instante em que
e
. O conteúdo aqui é um problema de taxas relacionadas em geometria de sólidos.
Passo 2
A relação entre volume
, raio
e altura
de um cilindro é
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, usando a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos
Passo 3
Isolamos
na equação acima:
logo
Passo 4
Precisamos de
no instante dado. Como
e
, da fórmula do volume segue
Passo 5
Agora substituímos
,
,
e
em
Calculando o numerador:
então
E o denominador é
. Assim