Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
ln nln 2 n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = ln nln(2n)
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Caso converja, queremos encontrar
limntoinftyan. Vamos usar propriedades de logaritmo e limites de razão.

Passo 2

Escrevemos o logaritmo do produto no denominador usando
ln(2n)=ln2+ln n
Então
an=ln nln2+ln n

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, dividimos numerador e denominador por ln n:
an=ln nln n;/ ;ln2+ln nln n =1ln2ln n+1

Passo 4

Observamos que ln2 é constante e ln ntoinfty quando ntoinfty, logo
ln2ln n;longrightarrow;0
Portanto
limntoinftyan =limntoinfty1ln2ln n+1 =10+1 =1

Passo 5

Concluímos que a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyln nln(2n)=1

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