Resolva cada PVI abaixo utilizando o método adequado de sua preferência:
y^prime=e^x+y, com y(0)=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver o problema de valor inicial
y' = e^x+y com y(0)=0.
Trata-se de uma EDO de primeira ordem e o método mais direto aqui é separação de variáveis.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
e^-y , dy = e^x , dx
Integrando ambos os lados, temos
integral e^-y , dy = integral e^x , dx Longrightarrow -,e^-y = e^x + C

Passo 3

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 em
-,e^-y = e^x + C

-1 = 1 + C,
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C = -2
Assim a solução implícita fica
-,e^-y = e^x - 2

Passo 4

Isolando y, multiplicamos por -1 e obtemos
e^-y = 2 - e^x
Como e^-y>0, é preciso 2 - e^x > 0, ou seja x < ln 2.
Aplicando logaritmo natural:
-,y = lnl(2 - e^xr) Longrightarrow y(x) = -lnl(2 - e^xr)

Resposta

y(x) = -lnl(2 - e^xr), x < ln 2

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