Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
(2 n-1)!(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = (2n-1)!(2n+1)!
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular o limite. O conteúdo é análise de limites de sequências e uso de propriedades de fatoriais.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando a definição de fatorial. Sabemos que
(2n+1)! = (2n+1),(2n),(2n-1)!
Substituindo na definição de an, fica

Passo 3

an = (2n-1)!(2n+1)! = (2n-1)!(2n+1),(2n),(2n-1)! = 1(2n+1),(2n)

Passo 4

Agora an é a sequência
an = 1(2n+1)(2n) = 14n^2 + 2n
Como 4n^2+2ntoinfty quando ntoinfty, temos
limntoinfty an = 0

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty (2n-1)!(2n+1)! = 0

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