Considerando a região R=[0,3] times[1,3], calcule a integral dupla abaixo:
integral duplaR(y+x y^-1) d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função ,f(x,y)=y+x,y^-1 sobre o retângulo
R = [0,3]times[1,3]
O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini, que diz que para funções contínuas em retângulos podemos trocar a ordem de integração e escrever
integral duplaRf(x,y),dA como uma integral iterada.

Passo 2

Usando Fubini, reescrevemos a integral dupla como
integral duplaRl(y + x,y^-1r),dA =integraly=1^3!integralx=0^3l(y + x,y^-1r),dx,dy

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integral0^3l(y + x,y^-1r),dx =integral0^3y,dx+integral0^3x,y^-1,dx =3y+1ycdot3^22 =3y+92y

Passo 4

Agora substituímos esse resultado na integral em y e separamos em duas parcelas:
integral1^3!l(3y+92yr),dy =3integral1^3y,dy+92integral1^31y,dy
As antiderivadas são
integral y,dy=y^22, integral1y,dy=ln y

Passo 5

Avaliar de y=1 a y=3:
3l[tfracy^22r]1^3 +92l[ln yr]1^3 =3cdot9-12+92(ln 3-ln 1) =12+92ln 3

Resposta

12 + 92ln 3

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