Escreva a forma da decomposição em frações parciais para as seguintes funções racionais.
2 s+4(s+1)(s-2) s^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos a decomposição em frações parciais da função racional:
2 s + 4(s + 1)(s - 2) s^2
Isso significa que vamos reescrever essa fração como uma soma de frações mais simples. Para isso, vamos precisar entender como quebrar o denominador em partes menores e encontrar os coeficientes que fazem essa igualdade funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador:
  • $ s + 1 $
  • $ s - 2 $
  • $ s^{2} $ (que é o mesmo que $ s \cdot s $)
Como o denominador tem um fator repetido ($ s $ ao quadrado), nossa decomposição em frações parciais será do tipo:
s + 1
Aqui, $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por $ (s + 1)(s - 2) s^{2} $:
(s + 1)(s - 2) s^2
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ que tornam essa igualdade verdadeira para todos os valores de $ s $.

Passo 4

Uma maneira eficiente de encontrar esses coeficientes é substituir valores específicos de $ s $ que simplificam a equação:
  1. Vamos escolher $ s = 0 $:
    s
    Simplificando:
    s = 0
  2. Agora, escolha $ s = -1 $:
    2(0) + 4 = A(0 + 1)(0 - 2)(0) + B(0 + 1)(0 - 2) + C(0)^2(0 - 2) + D(0)^2(0 + 1)
    Simplificando:
    4 = 0 + B(-2) + 0 + 0 Rightarrow -2B = 4 Rightarrow B = -2
  3. Escolha $ s = 2 $:
    s = -1
    Simplificando:
    2(-1) + 4 = A(-1 + 1)(-1 - 2)(-1) + B(-1 + 1)(-1 - 2) + C(-1)^2(-1 - 2) + D(-1)^2(-1 + 1)
  4. Agora, precisamos encontrar $ A $. Para isso, podemos escolher qualquer outro valor para $ s $, por exemplo, $ s = 1 $:
    2 = 0 + 0 + C(1)(-3) + 0 Rightarrow -3C = 2 Rightarrow C = -23
    Simplificando:
    s = 2
    \
    Sabemos que $ B = -2 $, $ C = -\frac{2}{3} $ e $ D = \frac{2}{3} $:
    2(2) + 4 = A(2 + 1)(2 - 2)(2) + B(2 + 1)(2 - 2) + C(2)^2(2 - 2) + D(2)^2(2 + 1)

Resposta

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
2 s + 4(s + 1)(s - 2) s^2 = 0s + -2s^2 + -dfrac23s + 1 + dfrac23s - 2
Simplificando, temos:
2 s + 4(s + 1)(s - 2) s^2 = -2s^2 - 23(s + 1) + 23(s - 2)

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