Escreva a forma da decomposição em frações parciais para as seguintes funções racionais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos a decomposição em frações parciais da função racional:
Isso significa que vamos reescrever essa fração como uma soma de frações mais simples. Para isso, vamos precisar entender como quebrar o denominador em partes menores e encontrar os coeficientes que fazem essa igualdade funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador:
- $ s + 1 $
- $ s - 2 $
- $ s^{2} $ (que é o mesmo que $ s \cdot s $)
Como o denominador tem um fator repetido ($ s $ ao quadrado), nossa decomposição em frações parciais será do tipo:
Aqui, $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por $ (s + 1)(s - 2) s^{2} $:
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ que tornam essa igualdade verdadeira para todos os valores de $ s $.
Passo 4
Uma maneira eficiente de encontrar esses coeficientes é substituir valores específicos de $ s $ que simplificam a equação:
-
Vamos escolher $ s = 0 $:Simplificando:
-
Agora, escolha $ s = -1 $:Simplificando:
-
Escolha $ s = 2 $:Simplificando:
-
Agora, precisamos encontrar $ A $. Para isso, podemos escolher qualquer outro valor para $ s $, por exemplo, $ s = 1 $:Simplificando:\
Sabemos que $ B = -2 $, $ C = -\frac{2}{3} $ e $ D = \frac{2}{3} $:
Resposta
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando, temos: