Resolva cada PVI dado.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
d yd x=(2 y+1x-1)^2, y(4)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dydx=l(2y+1x-1r)^2 com condição inicial y(4)=0. O conteúdo é equação diferencial separável, e vamos precisar separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo dy(2y+1)^2=dx(x-1)^2. Essa separação vem de isolar y de um lado e x do outro.

Passo 3

Integre ambos os lados. Para o lado de y, use u=2y+1, então du=2,dy e
integral dy(2y+1)^2=12integral u^-2,du=-12u+C1=-12(2y+1)+C1,
para o lado de x temos
integral dx(x-1)^2=-1x-1+C2
Igualando as integrais e absorvendo constantes em uma só C,
-12(2y+1)=-1x-1+C
multiplique por -1) e defina C'= -C:
12(2y+1)=1x-1+C'

Passo 4

Use a condição y(4)=0. Para x=4, y=0 temos
12(2cdot0+1)=13+C' Rightarrow 12=13+C' Rightarrow C';=;16
Substitua C' na expressão e resolva para y:
12(2y+1)=1x-1+16=6+(x-1)6(x-1)=x+56(x-1),
inverta e simplifique:
2(2y+1)=6(x-1)x+5 Rightarrow 2y+1=3(x-1)x+5 Rightarrow 2y=2(x-4)x+5 Rightarrow y=x-4x+5

Resposta

y=x-4x+5

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