Resolva cada PVI dado a seguir:
\left\{\begin{array}{l}\left(t^{2}-t\right) y^{\prime \prime}+(t+1) y^{\prime}+y=e^{t} \\\ y(-1)=y_{0}, \quad y^{\prime}(-1)=y_{0}^{\prime}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\begin{cases} (t^{2}-t)\,y''+(t+1)\,y'+y=e^{t},\\\ y(-1)=y_{0},\quad y'(-1)=y_{0}'. \end{cases}
Trata\‐se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos:
1. Colocar em forma padrão y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=r(t).
2. Calcular o wronskiano W(t).
3. Empregar o método de variação de parâmetros.
4. Determinar as constantes a partir das condições iniciais.

Passo 2

Dividindo a EDO por t^{2}-t=t(t-1), obtemos a forma padrão
y''+\underbrace{\frac{t+1}{t(t-1)}}_{p(t)}\,y' +\underbrace{\frac{1}{t(t-1)}}_{q(t)}\,y =\underbrace{\frac{e^{t}}{t(t-1)}}_{r(t)}.

Passo 3

O wronskiano satisfaz
W'(t)=-p(t)\,W(t),
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W(t)=C\exp\Bigl(-\!\int p(t)\,dt\Bigr) =C\exp\Bigl(-\!\int\bigl[-\tfrac1t+\tfrac2{t-1}\bigr]dt\Bigr) =C\exp\bigl(\ln|t| -2\ln|t-1|\bigr) =C\,\frac{t}{(t-1)^{2}}.
Podemos tomar C=1, portanto
W(t)=\frac{t}{(t-1)^{2}}.

Passo 4

Sejam y_{1} e y_{2} duas soluções fundamentais do homogêneo. Pela variação de parâmetros, uma particular é
y_{p}(t) =-y_{1}(t)\int_{-1}^{t}\frac{y_{2}(s)\,r(s)}{W(s)}\,ds +y_{2}(t)\int_{-1}^{t}\frac{y_{1}(s)\,r(s)}{W(s)}\,ds,
onde r(s)=e^{s}/[s(s-1)].

Passo 5

A solução geral fica
y(t)=C_{1}\,y_{1}(t)+C_{2}\,y_{2}(t)+y_{p}(t).
As constantes C_{1} e C_{2} são determinadas impondo
\;y(-1)=y_{0},\;y'(-1)=y_{0}'.

Resposta

A solução única do PVI em qualquer intervalo que não contenha 0 nem 1 é
y(t) =C_{1}\,y_{1}(t)+C_{2}\,y_{2}(t) -y_{1}(t)\int_{-1}^{t}\frac{y_{2}(s)\,e^{s}}{s(s-1)\,W(s)}\,ds +y_{2}(t)\int_{-1}^{t}\frac{y_{1}(s)\,e^{s}}{s(s-1)\,W(s)}\,ds,
com
W(t)=\frac{t}{(t-1)^{2}},
e C_{1}, C_{2} obtidos de
\;y(-1)=y_{0},\;y'(-1)=y_{0}'.

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