Resolva cada PVI dado a seguir:
\left\{\begin{array}{l}\left(t^{2}-t\right) y^{\prime \prime}+(t+3) y^{\prime}+2 y=\cos t \\\ y(2)=y_{0}, \quad y^{\prime}(2)=y_{0}^{\prime}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
(t^{2}-t)\,y''+(t+3)\,y'+2\,y=\cos t,\quad y(2)=y_{0},\;y'(2)=y_{0}'.
É uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis. Para resolver vamos usar:
  1. Colocar na forma normal y''+p(t)y'+q(t)y=r(t).
  2. Calcular o Wronskiano via fórmula de Abel.
  3. Aplicar variação de parâmetros para obter a solução particular.
  4. Escrever a solução geral e impor as condições iniciais.

Passo 2

Dividindo por t^{2}-t=t(t-1), obtemos a forma normal
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=r(t),
onde
p(t)=\frac{t+3}{t(t-1)},\quad q(t)=\frac{2}{t(t-1)},\quad r(t)=\frac{\cos t}{t(t-1)}.

Passo 3

Pela fórmula de Abel, o Wronskiano W(t) satisfaz
W(t)=Ce^{-\int p(t)\,dt}.
Fazendo a decomposição em frações parciais
\frac{t+3}{t(t-1)}=\frac{4}{t}-\frac{3}{t-1}
temos
\int p(t)\,dt=4\ln t-3\ln(t-1),
portanto, escolhendo C=1,
W(t)=e^{-(4\ln t-3\ln(t-1))}=t^{-4}(t-1)^{3}.

Passo 4

Seja \{y_{1},y_{2}\} um par de soluções fundamentais da homogênea
y''+p(t)y'+q(t)y=0.
Pela variação de parâmetros, uma solução particular é
y_{p}(t)=-y_{1}(t)\int^{t}y_{2}(s)\,\frac{r(s)}{W(s)}\,ds +y_{2}(t)\int^{t}y_{1}(s)\,\frac{r(s)}{W(s)}\,ds.
Aqui
\frac{r(s)}{W(s)} =\frac{\cos s}{s(s-1)}\bigg/\bigl[s^{-4}(s-1)^{3}\bigr] =\frac{s^{3}\cos s}{(s-1)^{4}}.

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t)=C_{1}\,y_{1}(t)+C_{2}\,y_{2}(t)+y_{p}(t),
com
y_{p}(t)=-y_{1}(t)\int_{2}^{t}y_{2}(s)\frac{s^{3}\cos s}{(s-1)^{4}}\,ds +y_{2}(t)\int_{2}^{t}y_{1}(s)\frac{s^{3}\cos s}{(s-1)^{4}}\,ds.
As constantes C_{1},C_{2} são determinadas pelas condições
\begin{cases} C_{1}\,y_{1}(2)+C_{2}\,y_{2}(2)=y_{0},\\\ C_{1}\,y_{1}'(2)+C_{2}\,y_{2}'(2)=y_{0}'. \end{cases}

Resposta

\boxed{ y(t)=C_{1}\,y_{1}(t)+C_{2}\,y_{2}(t) -y_{1}(t)\int_{2}^{t}y_{2}(s)\frac{s^{3}\cos s}{(s-1)^{4}}\,ds +y_{2}(t)\int_{2}^{t}y_{1}(s)\frac{s^{3}\cos s}{(s-1)^{4}}\,ds, }
onde y_{1},y_{2} são as soluções fundamentais da homogênea, e C_{1},C_{2} satisfazem
\begin{cases} C_{1}\,y_{1}(2)+C_{2}\,y_{2}(2)=y_{0},\\\ C_{1}\,y_{1}'(2)+C_{2}\,y_{2}'(2)=y_{0}'. \end{cases}

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