Resolva cada PVI dado a seguir:
Passo 1
O enunciado dá o PVI
É uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis. Para resolver vamos usar:
- Colocar na forma normal
. - Calcular o Wronskiano via fórmula de Abel.
- Aplicar variação de parâmetros para obter a solução particular.
- Escrever a solução geral e impor as condições iniciais.
Passo 2
Dividindo por
, obtemos a forma normal
onde
Passo 3
Pela fórmula de Abel, o Wronskiano
satisfaz
Fazendo a decomposição em frações parciais
temos
portanto, escolhendo
,
Passo 4
Seja
um par de soluções fundamentais da homogênea
Pela variação de parâmetros, uma solução particular é
Aqui
Passo 5
A solução geral do PVI é
com
As constantes
são determinadas pelas condições
Resposta
onde
são as soluções fundamentais da homogênea, e
satisfazem