Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais
y'' + 2y' + 2y = e^t, \quad y(0)=0,\;y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos transformar em s-espaço, resolver algebricamente e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
\mathcal L\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0), \quad \mathcal L\{y'\} = s\,Y(s) - y(0), \quad \mathcal L\{e^t\} = \frac{1}{s-1},
e como y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s) + 2\bigl(s\,Y(s)\bigr) + 2Y(s) = \frac{1}{s-1}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo surge
\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr) Y(s) = \frac{1}{s-1},
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Y(s) = \frac{1}{(s-1)(s^2 + 2s + 2)}.
Observamos que s^2+2s+2 = (s+1)^2 + 1.

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais
\frac{1}{(s-1)\bigl((s+1)^2+1\bigr)} = \frac{A}{s-1} + \frac{Bs + C}{(s+1)^2+1},
multiplicamos ambos os lados por (s-1)((s+1)^2+1) e igualamos coeficientes para obter
A=\frac15,\quad B=-\frac15,\quad C=-\frac35.
Reescrevendo o numerador da segunda parcela como combinação de (s+1) e constante, obtemos
Y(s) = \frac{1/5}{s-1} - \frac{1/5\,(s+1)}{(s+1)^2+1} - \frac{2/5}{(s+1)^2+1}.

Passo 5

Usando as transformadas inversas conhecidas
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-1}\Bigr\} = e^t, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^2+1}\Bigr\} = e^{-t}\cos t, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\Bigr\} = e^{-t}\sin t,
chegamos a
y(t) = \frac{1}{5}e^t - \frac{1}{5}e^{-t}\cos t - \frac{2}{5}e^{-t}\sin t.

Resposta

y(t) = \frac{1}{5}e^t \;-\;\frac{1}{5}e^{-t}\cos t \;-\;\frac{2}{5}e^{-t}\sin t.

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