Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais
usando transformada de Laplace. Vamos transformar em
-espaço, resolver algebricamente e depois aplicar a transformada inversa.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
e como
,
, obtemos
Passo 3
Fatorando
no lado esquerdo surge
logo
Observamos que
.
Passo 4
Fazendo a decomposição em frações parciais
multiplicamos ambos os lados por
e igualamos coeficientes para obter
Reescrevendo o numerador da segunda parcela como combinação de
e constante, obtemos
Passo 5
Usando as transformadas inversas conhecidas
chegamos a