Resolva cada PVI a seguir:

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
t^2y' - 2t,y = 2t^5cosl(t^2r), yl(raizpir)=pi
É uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para pôr em forma padrão, dividimos por t^2 (supondo tneq0):
y' - 2t,y = 2t^3cosl(t^2r)

Passo 3

O fator integrante mu(t) satisfaz
mu(t)=expl(integral -tfrac2t,dtr) =expl(-2ln|t|r)=t^-2

Passo 4

Multiplicando a equação por t^-2 temos
(t^-2y)'=t^-2y'-2t^-3y=2tcosl(t^2r)
Integramos em t:
t^-2y=integral 2tcosl(t^2r),dt =sinl(t^2r)+C

Passo 5

Desfazendo o fator integrante:
y(t)=t^2sinl(t^2r)+C,t^2
Usando y(raizpi)=pi
pi=(raizpi)^2sin(pi)+C,(raizpi)^2 =picdot0 +Cpi ;Rightarrow;C=1
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y(t)=t^2l(sin(t^2)+1r)

Resposta

y(t)=t^2l(sin(t^2)+1r).

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