Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida:
y=\frac{x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} ; x=0, x=2

Passo 1

O enunciado pede calcular a área sob a curva no intervalo dado. As informações relevantes são:
  • A função é y=\dfrac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}.
  • O intervalo é x=0 até x=2.
  • A tarefa é calcular a área sob a curva nesse intervalo, ou seja, calcular a integral definida correspondente.

Passo 2

Escrevendo a área como integral definida:
A=\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}\,dx.
Antes de integrar, verifico que a função está bem definida e é contínua em [0,2] porque o denominador \sqrt{2x^{2}+1} é sempre positivo. Como a função é não negativa nesse intervalo, a integral definida realmente representa a área pedida.

Passo 3

Vou usar substituição para simplificar a integral. Escolho a substituição
u=2x^{2}+1.
Agora calculo o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{4}\,du.
Também preciso transformar os limites de integração em termos de u:
\text{quando } x=0,\; u=2\cdot0^{2}+1=1; \qquad \text{quando } x=2,\; u=2\cdot2^{2}+1=9.

Passo 4

Substituindo na integral:
A=\int_{u=1}^{u=9}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{4}\,du =\frac{1}{4}\int_{1}^{9}u^{-1/2}\,du.
Agora uso a regra de potência para integrar u^{n}: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}.
Logo
A=\frac{1}{4}\cdot\bigl(2u^{1/2}\bigr)\Big|_{1}^{9} =\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{9}-\sqrt{1}\bigr).

Passo 5

Interpretação e fórmula geral útil (para te ajudar na prova): para integrais do tipo \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{ax^{2}+b}}\,dx a substituição u=ax^{2}+b leva a uma antiderivada geral
\int\frac{x}{\sqrt{ax^{2}+b}}\,dx=\frac{1}{a}\sqrt{ax^{2}+b}+C.
No nosso caso a=2, de modo que a primitiva é \dfrac{1}{2}\sqrt{2x^{2}+1}, e avaliando entre 0 e 2 obtivemos a expressão do passo anterior.

Resposta

1

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