Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida: y=\frac{x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} ; x=0, x=2
Passo 1
O enunciado pede calcular a área sob a curva no intervalo dado. As informações relevantes são:
A função é y=\dfrac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}.
O intervalo é x=0 até x=2.
A tarefa é calcular a área sob a curva nesse intervalo, ou seja, calcular a integral definida correspondente.
Passo 2
Escrevendo a área como integral definida:
A=\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}\,dx.
Antes de integrar, verifico que a função está bem definida e é contínua em [0,2] porque o denominador \sqrt{2x^{2}+1} é sempre positivo. Como a função é não negativa nesse intervalo, a integral definida realmente representa a área pedida.
Passo 3
Vou usar substituição para simplificar a integral. Escolho a substituição
u=2x^{2}+1.
Agora calculo o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{4}\,du.
Também preciso transformar os limites de integração em termos de u:
Interpretação e fórmula geral útil (para te ajudar na prova): para integrais do tipo \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{ax^{2}+b}}\,dx a substituição u=ax^{2}+b leva a uma antiderivada geral