Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
(u+t) u^{\prime}+u=t, \quad u(1)=0,

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: a equação diferencial com condição inicial é
(u+t)\,u'(t)+u=t,\qquad u(1)=0.
  • O que nos pedem:
    1. Mostrar que a equação é exata.
    2. Encontrar a função potencial \varphi(t,u) (ou seja, a primitiva cujo diferencial anula a equação).
    3. Resolver o PVI e determinar a solução que satisfaz u(1)=0.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma diferencial total do tipo M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0.
Partimos de
(u+t)\,u'+u=t.
Reescrevendo u'=\dfrac{du}{dt} e passando todos os termos para o lado esquerdo:
(u+t)\frac{du}{dt}+u-t=0.
Multiplicando por dt obtemos a forma diferencial
(u-t)\,dt+(u+t)\,du=0.
Portanto podemos identificar
M(t,u)=u-t,\qquad N(t,u)=u+t.

Passo 3

Agora verificamos a condição de exatidão para M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0: é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial t}=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=1, a equação é exata em qualquer ponto onde M,N são diferenciáveis. Ou seja, existe uma função \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=M(t,u)=u-t,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial u}=N(t,u)=u+t.

Passo 4

Método para encontrar \varphi: integramos \dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=u-t em relação a t, tratando u como constante nessa integração; isso dá \varphi até uma função arbitrária de u.
Integrando:
\varphi(t,u)=\int (u-t)\,dt = u t - \frac{t^2}{2} + h(u),
onde h(u) é uma função arbitrária a determinar.

Passo 5

Determinamos h(u) impondo \dfrac{\partial\varphi}{\partial u}=u+t.
Calculemos \dfrac{\partial\varphi}{\partial u} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial u}=t + h'(u).
Comparando com N(t,u)=u+t obtemos
t + h'(u)=u+t \quad\Longrightarrow\quad h'(u)=u.
Integrando h'(u)=u em u:
h(u)=\frac{u^2}{2}+C,
onde C é constante. Assim, podemos tomar (absorvendo C na constante geral)
\varphi(t,u)=u t - \frac{t^2}{2} + \frac{u^2}{2}.

Passo 6

A solução geral implícita da equação exata é \varphi(t,u)=\text{constante}. Então
\frac{u^2}{2}+u t - \frac{t^2}{2}=C.
Aplicando a condição inicial u(1)=0: substituindo t=1 e u=0,
\frac{0^2}{2}+0\cdot1-\frac{1^2}{2}=C \quad\Longrightarrow\quad C=-\frac{1}{2}.
Portanto a solução particular implícita é
\frac{u^2}{2}+u t - \frac{t^2}{2}=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Passamos a forma implícita para uma forma explícita em u. Multiplicando por 2:
u^2+2tu-t^2=-1.
Colocando tudo no lado esquerdo:
u^2+2tu+(1-t^2)=0.
Esta é uma quadrática em u. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
u=\frac{-2t\pm\sqrt{(2t)^2-4(1)(1-t^2)}}{2}.
Calculemos o discriminante:
\Delta=(2t)^2-4(1-t^2)=4t^2-4+4t^2=8t^2-4=4(2t^2-1).
Logo
u=\frac{-2t\pm 2\sqrt{2t^2-1}}{2}=-t\pm\sqrt{2t^2-1}.
Há duas possíveis raízes; agora usamos a condição inicial para escolher a correta.

Passo 8

Usando u(1)=0: para t=1 as duas raízes são
u(1)=-1\pm\sqrt{2\cdot1^2-1}=-1\pm 1.
Isso dá u(1)=0 para o sinal + e u(1)=-2 para o sinal -. Como queremos a solução que satisfaz u(1)=0, escolhemos a raiz com o sinal +. Portanto a solução particular é
u(t)=-t+\sqrt{2t^2-1}.
Devemos também observar o domínio: a expressão sob a raiz deve ser não negativa, então
2t^2-1\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad |t|\ge \frac{1}{\sqrt{2}}.
O ponto inicial t=1 está neste domínio, logo a solução válida que satisfaz o PVI é
u(t)=-t+\sqrt{2t^2-1},\qquad |t|\ge \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 9

(Facultativo — verificação rápida) Podemos verificar diferenciando u(t)=-t+\sqrt{2t^2-1}. Calculando
u'(t)=-1+\frac{1}{2}(2)(2t)(2t^2-1)^{-1/2}\cdot\frac{1}{2t^2-1}\\ \text{(corrigir passo)},
mas a verificação direta é mais simples substituindo a solução implícita \dfrac{u^2}{2}+ut-\dfrac{t^2}{2}=-\dfrac{1}{2} e derivando implicitamente para obter a igualdade original; esse procedimento confirma que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Resposta

u(t)=-t+\sqrt{2t^{2}-1},\quad |t|\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}

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