Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
,
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: a equação diferencial com condição inicial é
- O que nos pedem:
- Mostrar que a equação é exata.
- Encontrar a função potencial
(ou seja, a primitiva cujo diferencial anula a equação). - Resolver o PVI e determinar a solução que satisfaz
.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação em forma diferencial total do tipo
.
Partimos de
Reescrevendo
e passando todos os termos para o lado esquerdo:
Multiplicando por
obtemos a forma diferencial
Portanto podemos identificar
Passo 3
Agora verificamos a condição de exatidão para
: é exata se e somente se
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata em qualquer ponto onde
são diferenciáveis. Ou seja, existe uma função
tal que
Passo 4
Método para encontrar
: integramos
em relação a
, tratando
como constante nessa integração; isso dá
até uma função arbitrária de
.
Integrando:
onde
é uma função arbitrária a determinar.
Passo 5
Determinamos
impondo
.
Calculemos
a partir da expressão encontrada:
Comparando com
obtemos
Integrando
em
:
onde
é constante. Assim, podemos tomar (absorvendo
na constante geral)
Passo 6
A solução geral implícita da equação exata é
. Então
Aplicando a condição inicial
: substituindo
e
,
Portanto a solução particular implícita é
Passo 7
Passamos a forma implícita para uma forma explícita em
. Multiplicando por
:
Colocando tudo no lado esquerdo:
Esta é uma quadrática em
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculemos o discriminante:
Logo
Há duas possíveis raízes; agora usamos a condição inicial para escolher a correta.
Passo 8
Usando
: para
as duas raízes são
Isso dá
para o sinal
e
para o sinal
. Como queremos a solução que satisfaz
, escolhemos a raiz com o sinal
. Portanto a solução particular é
Devemos também observar o domínio: a expressão sob a raiz deve ser não negativa, então
O ponto inicial
está neste domínio, logo a solução válida que satisfaz o PVI é
Passo 9
(Facultativo — verificação rápida) Podemos verificar diferenciando
. Calculando
mas a verificação direta é mais simples substituindo a solução implícita
e derivando implicitamente para obter a igualdade original; esse procedimento confirma que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.