Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- verificar que a equação é exata;
- encontrar a família de soluções (a solução geral).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é a função
de variável . - O fator
aparece multiplicando toda a expressão; lembre que para todo . - A equação pode ser vista como uma forma diferencial do tipo
se colocarmos os termos de e explícitos.
Passo 2
Colocar a equação na forma diferencial padrão. Escrevendo
e multiplicando por
, obtemos
Como
, podemos usar a forma
com
Aqui
é a função que multiplica
e
é a que multiplica
.
Passo 3
Definição de exatidão (colega, isso é importante): a equação
é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma condição prática necessária e suficiente (em domínios apropriados) é
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata. Ou seja, existe
com
equivalente à equação dada.
Passo 4
Agora vamos encontrar a função potencial
. Pela definição,
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Como
é constante na integração em
, sai da integral:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração dependente de
).
Passo 5
Calcular a primitiva
. Uma observação muito útil (e que evita contas longas) é notar que a derivada de
é exatamente
Portanto
Assim
Passo 6
Usar a outra condição
para achar
. Calcule
Devemos ter
. Assim
Logo
é constante:
(constante arbitrária).
Portanto a função potencial (até constante) é
Passo 7
A equação exata é equivalente a
, ou seja
. Assim a solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária real.
Isolando
,
desde que
. Note também que
dá a solução trivial
, válida em todo domínio.
Observação sobre domínio: a forma
é válida em intervalos onde
não zera; as soluções definidas passando por pontos onde
exigem tratar casos particulares (por exemplo a solução
atravessa esses pontos).