Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
e^{t}\left(\operatorname{sen} t u^{\prime}+u \operatorname{sen} t+u \cos t\right)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{t}\bigl(\sin t\,u'(t)+u(t)\sin t+u(t)\cos t\bigr)=0
e pede duas coisas:
  • verificar que a equação é exata;
  • encontrar a família de soluções (a solução geral).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é a função u(t) de variável t.
  • O fator e^{t} aparece multiplicando toda a expressão; lembre que e^{t}\neq0 para todo t.
  • A equação pode ser vista como uma forma diferencial do tipo M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0 se colocarmos os termos de dt e du explícitos.

Passo 2

Colocar a equação na forma diferencial padrão. Escrevendo u'=du/dt e multiplicando por dt, obtemos
e^{t}\bigl(\sin t\,du + u(\sin t+\cos t)\,dt\bigr)=0.
Como e^{t}\neq0, podemos usar a forma
M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du = 0
com
M(t,u)=e^{t}\,u(\sin t+\cos t),\qquad N(t,u)=e^{t}\sin t.
Aqui M é a função que multiplica dt e N é a que multiplica du.

Passo 3

Definição de exatidão (colega, isso é importante): a equação M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0 é exata se existir uma função potencial \Psi(t,u) tal que
\frac{\partial\Psi}{\partial t}=M(t,u)\quad\text{e}\quad \frac{\partial\Psi}{\partial u}=N(t,u).
Uma condição prática necessária e suficiente (em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Vamos calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=e^{t}(\sin t+\cos t).
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}(\sin t+\cos t).
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}, a forma é exata. Ou seja, existe \Psi(t,u) com \mathrm{d}\Psi=0 equivalente à equação dada.

Passo 4

Agora vamos encontrar a função potencial \Psi(t,u). Pela definição, \partial\Psi/\partial t=M(t,u). Integramos M em relação a t, tratando u como constante:
\Psi(t,u)=\int M(t,u)\,dt = \int e^{t}u(\sin t+\cos t)\,dt.
Como u é constante na integração em t, sai da integral:
\Psi(t,u)=u\int e^{t}(\sin t+\cos t)\,dt + h(u),
onde h(u) é uma função arbitrária de u (constante de integração dependente de u).

Passo 5

Calcular a primitiva \int e^{t}(\sin t+\cos t)\,dt. Uma observação muito útil (e que evita contas longas) é notar que a derivada de e^{t}\sin t é exatamente
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}(\sin t+\cos t).
Portanto
\int e^{t}(\sin t+\cos t)\,dt = e^{t}\sin t + \text{constante}.
Assim
\Psi(t,u)=u\,e^{t}\sin t + h(u).

Passo 6

Usar a outra condição \partial\Psi/\partial u=N(t,u) para achar h(u). Calcule
\frac{\partial\Psi}{\partial u}=e^{t}\sin t + h'(u).
Devemos ter \partial\Psi/\partial u = N(t,u)=e^{t}\sin t. Assim
e^{t}\sin t + h'(u)=e^{t}\sin t \quad\Longrightarrow\quad h'(u)=0.
Logo h(u) é constante: h(u)=C (constante arbitrária).
Portanto a função potencial (até constante) é
\Psi(t,u)=e^{t}\sin t\;u.

Passo 7

A equação exata é equivalente a \mathrm{d}\Psi=0, ou seja \Psi(t,u)=\text{constante}. Assim a solução geral implícita é
e^{t}\sin t\;u = C,
onde C é constante arbitrária real.
Isolando u,
u(t)=C\,e^{-t}\csc t,
desde que \sin t\neq0. Note também que C=0 dá a solução trivial u\equiv0, válida em todo domínio.
Observação sobre domínio: a forma u(t)=C e^{-t}\csc t é válida em intervalos onde \sin t não zera; as soluções definidas passando por pontos onde \sin t=0 exigem tratar casos particulares (por exemplo a solução u\equiv0 atravessa esses pontos).

Resposta

u(t)=C\,e^{-t}\csc t,\quad C\in\mathbb{R}

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