Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
\left(1+t^{2}\right) u^{\prime}+2 t u=2 t, \quad u(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por
(1+t^{2})\,u^{\prime}+2t\,u=2t,\qquad u(0)=1.
Vou listar o que temos de informação:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e está escrita com u'.
  • A condição inicial é u(0)=1.
    O objetivo é mostrar que a equação é exata e encontrar a função potencial \varphi que gera a solução, e então obter u(t) que satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação na forma diferencial exata padrão
M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du=0.
Para isto, rearranjo a equação original tirando tudo para o mesmo lado e trocando u'\,dt = du:
(2t\,u-2t)\,dt + (1+t^2)\,du=0.
Portanto identificamos
M(t,u)=2t\,u-2t,\qquad N(t,u)=1+t^2.

Passo 3

Agora explico o conceito de equação exata: uma equação M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0 é exacta se existe uma função \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=M(t,u)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial u}=N(t,u).
Uma condição prática para verificar exatidão é comparar as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial u}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial t}.
Calculo-as:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}(2t\,u-2t)=2t,
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(1+t^2)=2t.
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t} (ambas iguais a 2t), a equação é exata.

Passo 4

Porque a equação é exata, existe \varphi(t,u) com
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=M(t,u)=2t\,u-2t.
Para encontrar \varphi integro M em relação a t, tratando u como constante (isto é, durante essa integração u é parâmetro):
\varphi(t,u)=\int (2t\,u-2t)\,dt = \int 2t\,u\,dt - \int 2t\,dt.
Calculo cada integral:
\int 2t\,u\,dt = u\int 2t\,dt = u\,t^2,
\int 2t\,dt = t^2.
Assim
\varphi(t,u)=u\,t^2 - t^2 + h(u),
onde h(u) é uma função “constante de integração” que pode depender de u.

Passo 5

Agora uso a outra condição \dfrac{\partial \varphi}{\partial u}=N(t,u)=1+t^2. Calculo \dfrac{\partial \varphi}{\partial u} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial u}=t^2 + h'(u).
Igualando a N(t,u):
t^2 + h'(u)=1+t^2.
Subtraindo t^2 de ambos os lados obtemos
h'(u)=1.
Integrando em u:
h(u)=u + C,
onde C é constante real. Portanto uma expressão para \varphi é
\varphi(t,u)=u\,t^2 - t^2 + u + C.

Passo 6

A solução implícita da equação exata é dada por \varphi(t,u)= constante. Posso absorver C na constante da solução; assim tomo a forma mais simples (tirando C para o lado direito):
u\,t^2 - t^2 + u = k,
onde k é constante (dependendo da condição inicial). Uso a condição inicial u(0)=1 para determinar k. Substituindo t=0 e u=1:
1\cdot 0^2 - 0^2 + 1 = k \quad\Rightarrow\quad k=1.
Logo a relação implícita fica
u\,t^2 - t^2 + u = 1.

Passo 7

Agora resolvo explicitamente para u. Agrupo os termos em u:
u\,t^2 + u - t^2 = 1.
Fatorando u:
u\,(t^2+1) - t^2 = 1.
Isolando u:
u\,(t^2+1) = 1 + t^2.
Como t^2+1>0 para todo t, posso dividir por t^2+1:
u(t)=\frac{1+t^2}{1+t^2}=1.

Passo 8

Verificação e comentário final (rápido check): a solução encontrada é a função constante \,u(t)\equiv 1. Para checar, calculo u'(t)=0 e coloco na equação original:
(1+t^2)\cdot 0 + 2t\cdot 1 = 2t,
que coincide com o lado direito 2t. Também satisfaz u(0)=1. Tudo batendo certinho.

Resposta

u(t)\equiv 1

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