Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI dado por
Vou listar o que temos de informação:
- A equação diferencial é de primeira ordem e está escrita com
. - A condição inicial é
.
O objetivo é mostrar que a equação é exata e encontrar a função potencialque gera a solução, e então obter que satisfaça a condição inicial.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação na forma diferencial exata padrão
Para isto, rearranjo a equação original tirando tudo para o mesmo lado e trocando
:
Portanto identificamos
Passo 3
Agora explico o conceito de equação exata: uma equação
é exacta se existe uma função
tal que
Uma condição prática para verificar exatidão é comparar as derivadas parciais
Calculo-as:
Como
(ambas iguais a
), a equação é exata.
Passo 4
Porque a equação é exata, existe
com
Para encontrar
integro
em relação a
, tratando
como constante (isto é, durante essa integração
é parâmetro):
Calculo cada integral:
Assim
onde
é uma função “constante de integração” que pode depender de
.
Passo 5
Agora uso a outra condição
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Igualando a
:
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Integrando em
:
onde
é constante real. Portanto uma expressão para
é
Passo 6
A solução implícita da equação exata é dada por
constante. Posso absorver
na constante da solução; assim tomo a forma mais simples (tirando
para o lado direito):
onde
é constante (dependendo da condição inicial). Uso a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
Logo a relação implícita fica
Passo 7
Agora resolvo explicitamente para
. Agrupo os termos em
:
Fatorando
:
Isolando
:
Como
para todo
, posso dividir por
:
Passo 8
Verificação e comentário final (rápido check): a solução encontrada é a função constante
. Para checar, calculo
e coloco na equação original:
que coincide com o lado direito
. Também satisfaz
. Tudo batendo certinho.