Resolva cada um dos seguintes sistemas:
\begin{aligned} \frac{1}{3} x_{1}+\frac{2}{3} x_{2}+2 x_{3} & =-1 \\\ x_{1}+2 x_{2}+\frac{3}{2} x_{3} & =\frac{3}{2} \\\ \frac{1}{2} x_{1}+2 x_{2}+\frac{12}{5} x_{3} & =\frac{1}{10} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede resolver o sistema linear para encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3}.
  • As equações dadas são:
\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+2x_{3}=-1
x_{1}+2x_{2}+\frac{3}{2}x_{3}=\frac{3}{2}
\frac{1}{2}x_{1}+2x_{2}+\frac{12}{5}x_{3}=\frac{1}{10}
Informações relevantes:
  • São três equações lineares com três incógnitas.
  • Existem frações nas equações; é comum limpar denominadores para simplificar os cálculos manualmente.

Passo 2

Limpar denominadores para trabalhar com inteiros (isso facilita as operações sem perder a solução).
  • Multiplico a primeira equação por 3:
x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=-3.
  • Multiplico a segunda equação por 2:
2x_{1}+4x_{2}+3x_{3}=3.
  • Multiplico a terceira equação por 10:
5x_{1}+20x_{2}+24x_{3}=1.
Assim obtemos o sistema equivalente mais simples para manipular:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=-3,\\[4pt] 2x_{1}+4x_{2}+3x_{3}=3,\\[4pt] 5x_{1}+20x_{2}+24x_{3}=1. \end{cases}]

Passo 3

Escolher o método: vou usar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas). Ideia rápida: usar a primeira equação para eliminar x_{1} nas equações 2 e 3.
  • Denoto as equações transformadas como (1’), (2’), (3’):
(1')\; x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=-3,
(2')\; 2x_{1}+4x_{2}+3x_{3}=3,
(3')\; 5x_{1}+20x_{2}+24x_{3}=1.
Para eliminar x_{1} em (2’) faço (2’) - 2\cdot(1').
Para eliminar x_{1} em (3’) faço (3’) - 5\cdot(1').

Passo 4

Executar as eliminações passo a passo (mostrando as contas).
  • Calculo (2’) - 2\cdot(1'):
(2')-2(1'):\quad (2x_{1}-2x_{1})+(4x_{2}-4x_{2})+(3x_{3}-12x_{3})=3-2(-3).
Isso dá
0+0-9x_{3}=3+6,
ou seja
-9x_{3}=9.
  • Calculo (3’) - 5\cdot(1'):
(3')-5(1'):\quad (5x_{1}-5x_{1})+(20x_{2}-10x_{2})+(24x_{3}-30x_{3})=1-5(-3).
Isso dá
0+10x_{2}-6x_{3}=1+15,
ou seja
10x_{2}-6x_{3}=16.

Passo 5

Resolver para x_{3} a partir da equação obtida:
  • De -9x_{3}=9 segue
x_{3}=\frac{9}{-9}=-1.

Passo 6

Substituir x_{3}=-1 na equação 10x_{2}-6x_{3}=16 para encontrar x_{2}.
  • Substituindo:
10x_{2}-6(-1)=16.
  • Isso é
10x_{2}+6=16.
  • Assim
10x_{2}=10 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=1.

Passo 7

Substituir x_{2}=1 e x_{3}=-1 na primeira equação (a limpa) para obter x_{1}.
  • A primeira equação é x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=-3.
  • Substituindo:
x_{1}+2(1)+6(-1)=-3.
  • Ou seja
x_{1}+2-6=-3 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-4=-3.
  • Portanto
x_{1}=1.

Passo 8

Verificação rápida: substituir (x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,-1) nas equações originais para garantir que está correto.
  • Primeira equação original:
\frac{1}{3}\cdot1+\frac{2}{3}\cdot1+2\cdot(-1)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-2=1-2=-1.
Confere.
  • Segunda equação original:
1+2+\frac{3}{2}\cdot(-1)=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.
Confere.
  • Terceira equação original:
\frac{1}{2}\cdot1+2\cdot1+\frac{12}{5}\cdot(-1)=\frac{1}{2}+2-\frac{12}{5}=\frac{5+20-24}{10}=\frac{1}{10}.
Confere.
Tudo bate certinho.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=1
x_{3}=-1

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