Resolva cada um dos seguintes sistemas:
\begin{aligned} 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}= & 0 \\\\ -2 x_{1}+x_{2}-x_{3}= & 2 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}= & -1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear formado por três equações nas incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}. As equações dadas são:
\begin{aligned} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}= &\;0,\\[4pt] -2x_{1}+x_{2}-x_{3}= &\;2,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+2x_{3}= &\;-1. \end{aligned}
O que se pede é encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3}\, que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda): vou usar eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares entre linhas). Explicando de forma simples e prática:
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada e usa-se operações do tipo: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, ou somar a um linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo é transformar a matriz em forma triangular superior (ou escalonada), onde a primeira linha tem coeficiente não nulo em x_{1}, a segunda linha tem coeficiente zero em x_{1} e coeficiente não nulo em x_{2}, e a terceira linha tem zeros em x_{1} e x_{2}. Isso facilita achar x_{3} primeiro (retro-substituição) e depois x_{2} e x_{1}.
    Escolhi este método porque é o mais direto e elementar para sistemas lineares com três equações e permite organizar bem os cálculos.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 2 & -1 \end{array}\right].
Cada linha corresponde a uma equação; as colunas da esquerda são os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e a última coluna é o vetor dos termos constantes.]

Passo 4

Eliminar x_{1} das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
  • Para zerar o coeficiente de x_{1} na linha 2 (que é -2), aplica-se a operação
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 + \tfrac{2}{3}\,\text{L}_1.
Calculemos coeficiente a coeficiente:
\begin{aligned} \text{novo coeficiente de }x_{1}:&\\\ -2 + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = -2 + 2 = 0,\\[4pt] \text{novo coeficiente de }x_{2}:&\\\ 1 + \tfrac{2}{3}\cdot 2 = 1 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{7}{3},\\[4pt] \text{novo coeficiente de }x_{3}:&\\\ -1 + \tfrac{2}{3}\cdot 1 = -1 + \tfrac{2}{3} = -\tfrac{1}{3},\\[4pt] \text{novo termo constante:}&\\\ 2 + \tfrac{2}{3}\cdot 0 = 2. \end{aligned}
Portanto a linha 2 fica \bigl[\,0,\tfrac{7}{3},-\tfrac{1}{3}\mid 2\,\bigr].
  • Para zerar o coeficiente de x_{1} na linha 3 (que é 2), aplica-se a operação
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - \tfrac{2}{3}\,\text{L}_1.
Calculemos:
\begin{aligned} \text{novo coeficiente de }x_{1}:&\\\ 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 2 - 2 = 0,\\[4pt] \text{novo coeficiente de }x_{2}:&\\\ -1 - \tfrac{2}{3}\cdot 2 = -1 - \tfrac{4}{3} = -\tfrac{7}{3},\\[4pt] \text{novo coeficiente de }x_{3}:&\\\ 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 1 = 2 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3},\\[4pt] \text{novo termo constante:}&\\\ -1 - \tfrac{2}{3}\cdot 0 = -1. \end{aligned}
Portanto a linha 3 fica \bigl[\,0,-\tfrac{7}{3},\tfrac{4}{3}\mid -1\,\bigr].]

Passo 5

Agora a matriz aumentada após essas operações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{3} & 2\\[4pt] 0 & -\tfrac{7}{3} & \tfrac{4}{3} & -1 \end{array}\right].
Note como as duas últimas linhas têm coeficientes simétricos em x_{2} (um é \tfrac{7}{3}, o outro é -\tfrac{7}{3}). Isso facilita a eliminação de x_{2}.]

Passo 6

Eliminar x_{2} entre as linhas 2 e 3 somando-as:
\text{L}_2 + \text{L}_3 \longrightarrow \text{nova linha}.
Somando componente a componente:
\begin{aligned} 0+0 &= 0,\\[4pt] \tfrac{7}{3} + \bigl(-\tfrac{7}{3}\bigr) &= 0,\\[4pt] -\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{3} &= \tfrac{3}{3} = 1,\\[4pt] 2 + (-1) &= 1. \end{aligned}
A soma dá a equação simples
0\cdot x_{1} + 0\cdot x_{2} + 1\cdot x_{3} = 1,
ou seja
x_{3} = 1.]

Passo 7

Agora que temos x_{3}, voltamos à linha 2 (ou a qualquer equação que contenha x_{2} e x_{3}) para encontrar x_{2}. Usando a forma da linha 2:
\tfrac{7}{3}x_{2} - \tfrac{1}{3}x_{3} = 2.
Substituindo x_{3}=1:
\tfrac{7}{3}x_{2} - \tfrac{1}{3}\cdot 1 = 2.
Passos aritméticos:
\tfrac{7}{3}x_{2} = 2 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{6}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3}.
Assim
x_{2} = \frac{\tfrac{7}{3}}{\tfrac{7}{3}} = 1.

Passo 8

Com x_{2}=1 e x_{3}=1, encontramos x_{1} usando a primeira equação original:
3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 0.
Substituindo:
3x_{1} + 2\cdot 1 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1} + 3 = 0.
Logo
3x_{1} = -3 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -1.

Passo 9

Verificação rápida (substituir a solução (x_{1},x_{2},x_{3}) = (-1,1,1) nas equações originais):
\begin{aligned} 3(-1)+2(1)+1 &= -3+2+1 = 0\quad\checkmark,\\[4pt] -2(-1)+1(1)-1 &= 2+1-1 = 2\quad\checkmark,\\[4pt] 2(-1)-1(1)+2(1) &= -2-1+2 = -1\quad\checkmark. \end{aligned}
Todas as equações são satisfeitas, portanto a solução está correta.]

Resposta

x_{1}=-1
x_{2}=1
x_{3}=1

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