Resolva cada um dos seguintes sistemas:
\begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}= & 1 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}= & 1 \\\\ 6 x_{1}+5 x_{2}+5 x_{3}= & -3 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear com três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}:
\begin{aligned} 2x_{1}+x_{2}+3x_{3} &= 1,\\[4pt] 4x_{1}+3x_{2}+5x_{3} &= 1,\\[4pt] 6x_{1}+5x_{2}+5x_{3} &= -3. \end{aligned}
Informações dadas:
  • Três equações lineares em três incógnitas.
  • Quer-se encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas). Explicando a ideia: transformar o sistema numa forma triangular (uma equação com apenas uma incógnita, outra com duas, etc.) usando combinações lineares das linhas; depois resolver por substituição (back-substitution). Operações elementares válidas: multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra, trocar linhas — todas preservam as soluções do sistema.
Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 4 & 3 & 5 & 1\\[4pt] 6 & 5 & 5 & -3 \end{array}\right).]

Passo 3

Vamos zerar os elementos da primeira coluna abaixo do pivô (que escolhemos como o elemento 2 na primeira linha). Aplicamos as operações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}.
Calculemos linha a linha.
Para R_{2}:
R_{2}-2R_{1}=\bigl(4,\,3,\,5,\,1\bigr)-2\cdot\bigl(2,\,1,\,3,\,1\bigr) =\bigl(4-4,\,3-2,\,5-6,\,1-2\bigr)=\bigl(0,\,1,\,-1,\,-1\bigr).
Para R_{3}:
R_{3}-3R_{1}=\bigl(6,\,5,\,5,\,-3\bigr)-3\cdot\bigl(2,\,1,\,3,\,1\bigr) =\bigl(6-6,\,5-3,\,5-9,\,-3-3\bigr)=\bigl(0,\,2,\,-4,\,-6\bigr).
A matriz aumentada passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -4 & -6 \end{array}\right).]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (elemento 1 na posição (2,2)) para zerar o elemento abaixo dele (posição (3,2)). Operação:
R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}.
Calculemos:
R_{3}-2R_{2}=\bigl(0,\,2,\,-4,\,-6\bigr)-2\cdot\bigl(0,\,1,\,-1,\,-1\bigr) =\bigl(0,\,2-2,\,-4-(-2),\,-6-(-2)\bigr)=\bigl(0,\,0,\,-2,\,-4\bigr).
A matriz triangular resultante é
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4 \end{array}\right).]

Passo 5

Agora resolvemos a partir da última linha (back-substitution). A terceira linha corresponde à equação
-2x_{3} = -4.
Dividindo os dois lados por -2 (explicação: para isolar x_{3}, aplicar a operação inversa da multiplicação por -2, que é a divisão por -2):
x_{3} = \frac{-4}{-2} = 2.

Passo 6

Com x_{3}=2, usamos a segunda equação (segunda linha) que é
x_{2} - x_{3} = -1.
Substituindo x_{3}=2:
x_{2}-2 = -1 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = -1+2 = 1.

Passo 7

Com x_{2}=1 e x_{3}=2, usamos a primeira equação
2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1.
Substituindo:
2x_{1}+1+3\cdot 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+1+6=1 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+7=1.
Isolando x_{1}:
2x_{1}=1-7=-6 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-3.

Passo 8

Verificação rápida (substituir a solução nas três equações para checar consistência):
  1. Primeira equação:
2(-3)+1+3\cdot 2 = -6+1+6=1 \quad\checkmark
  1. Segunda equação:
4(-3)+3\cdot 1+5\cdot 2 = -12+3+10=1 \quad\checkmark
  1. Terceira equação:
6(-3)+5\cdot 1+5\cdot 2 = -18+5+10=-3 \quad\checkmark
Todas as equações são satisfeitas, portanto a solução está correta.

Resposta

x_{1}=-3
x_{2}=1
x_{3}=2

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