Resolva cada um dos seguintes sistemas:
\begin{array}{r} x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\\\ 3 x_{1}+3 x_{3}-4 x_{4}=7 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=6 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=6 \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Nos pedem para resolver o sistema linear para as incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • O sistema é:
\begin{array}{r} x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\[4pt] 3 x_{1}+3 x_{3}-4 x_{4}=7 \\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=6 \\[4pt] 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=6 \end{array}
  • Em palavras: são quatro equações lineares com quatro incógnitas; queremos encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} que satisfazem simultaneamente todas as equações.]

Passo 2

Estratégia de solução (explicação rápida do método que vamos usar).
  • Vamos usar eliminação de Gauss (reduzir o sistema por operações elementares sobre as linhas) para chegar a um sistema triangular e então fazer substituição regressiva.
  • Operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não alteram o conjunto de soluções.
  • Primeiro represento o sistema pela matriz aumentada (coeficientes e termos à direita):
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 0 & 3 & -4 & 7\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 3 & 6 \end{array}\right]]

Passo 3

Colocar um pivô na primeira coluna (queremos um 1 na posição (1,1)).
  • A primeira linha tem zero na primeira coluna, então trocamos \,R_1 por \,R_3 (isso é R_1\leftrightarrow R_3) para ter 1 como pivô:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 3 & 0 & 3 & -4 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 3 & 6 \end{array}\right]]

Passo 4

Zerar a primeira coluna nas linhas abaixo do pivô usando combinações com \,R_1.
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 e R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Cálculo de cada linha:
  • R_2: [3,0,3,-4|7] - 3\cdot[1,1,1,2|6] = [0,-3,0,-10|-11].
  • R_4: [2,3,1,3|6] - 2\cdot[1,1,1,2|6] = [0,1,-1,-1|-6].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 0 & -3 & 0 & -10 & -11\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & -6 \end{array}\right]]

Passo 5

Escolher pivô na segunda coluna. Para simplificar, trocamos \,R_2 por \,R_3 (assim o pivô será 1 em (2,2)):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 0 & -10 & -11\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & -6 \end{array}\right]]

Passo 6

Zerar as entradas da segunda coluna acima e abaixo do pivô (2,2).
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 - R_2 para zerar a entrada em (1,2).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2 para zerar a entrada em (3,2).
  • Fazer R_4 \leftarrow R_4 - R_2 para zerar a entrada em (4,2).
Cálculos:
  • R_1: [1,1,1,2|6] - [0,1,1,1|0] = [1,0,0,1|6].
  • R_3: [0,-3,0,-10|-11] + 3\cdot[0,1,1,1|0] = [0,0,3,-7|-11].
  • R_4: [0,1,-1,-1|-6] - [0,1,1,1|0] = [0,0,-2,-2|-6].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -7 & -11\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -2 & -6 \end{array}\right]]

Passo 7

Trabalhar a terceira coluna: obter pivô e eliminar abaixo.
  • Divido a terceira linha por 3 para ter pivô 1 em (3,3): R_3 \leftarrow \dfrac{1}{3}R_3.
R_3 = \left[0,0,1,-\tfrac{7}{3},-\tfrac{11}{3}\right]
Matriz intermediária:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{11}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -2 & -6 \end{array}\right]
  • Agora eliminar a entrada em (4,3) e em (2,3):
    • Fazer R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3 (para zerar -2 na coluna 3).
    • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - R_3 (para zerar o 1 na coluna 3).
Cálculos:
  • R_4: [0,0,-2,-2|-6] + 2\cdot[0,0,1,-\tfrac{7}{3},-\tfrac{11}{3}] = [0,0,0,-2 - \tfrac{14}{3}, -6 - \tfrac{22}{3}].
    • Simplificando: -2 - \tfrac{14}{3} = -\tfrac{6}{3} - \tfrac{14}{3} = -\tfrac{20}{3}.
    • E -6 - \tfrac{22}{3} = -\tfrac{18}{3} - \tfrac{22}{3} = -\tfrac{40}{3}.
    • Logo R_4 = [0,0,0,-\tfrac{20}{3}, -\tfrac{40}{3}].
  • R_2: [0,1,1,1|0] - [0,0,1,-\tfrac{7}{3},-\tfrac{11}{3}] = [0,1,0,1 + \tfrac{7}{3}, 0 + \tfrac{11}{3}].
    • 1 + \tfrac{7}{3} = \tfrac{3}{3} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{10}{3}.
    • Então R_2 = [0,1,0,\tfrac{10}{3},\tfrac{11}{3}].
Matriz triangular resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{10}{3} & \tfrac{11}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{11}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{20}{3} & -\tfrac{40}{3} \end{array}\right]]

Passo 8

Resolver a última equação para \,x_{4}.
  • A quarta linha corresponde a \,-\tfrac{20}{3} x_{4} = -\tfrac{40}{3}.
  • Multiplicando ambos os lados por \,3 -20 x_{4} = -40.
  • Logo \,x_{4} = \dfrac{-40}{-20} = 2.

Passo 9

Substituir \,x_{4}=2 para encontrar \,x_{3} (substituição regressiva).
  • A terceira linha diz \,x_{3} - \tfrac{7}{3}x_{4} = -\tfrac{11}{3}.
  • Substituindo \,x_{4}=2: x_{3} - \tfrac{7}{3}\cdot 2 = -\tfrac{11}{3}.
  • Calculando \tfrac{7}{3}\cdot 2 = \tfrac{14}{3}. Então
x_{3} - \tfrac{14}{3} = -\tfrac{11}{3} \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = -\tfrac{11}{3} + \tfrac{14}{3} = \tfrac{3}{3} = 1.

Passo 10

Substituir \,x_{4}=2 na segunda linha para obter \,x_{2}.
  • A segunda linha diz x_{2} + \tfrac{10}{3} x_{4} = \tfrac{11}{3}.
  • Substituindo x_{4}=2: x_{2} + \tfrac{10}{3}\cdot 2 = \tfrac{11}{3}.
  • \tfrac{10}{3}\cdot 2 = \tfrac{20}{3}, então
x_{2} = \tfrac{11}{3} - \tfrac{20}{3} = -\tfrac{9}{3} = -3.

Passo 11

Substituir \,x_{4}=2 na primeira linha para obter \,x_{1}.
  • A primeira linha diz x_{1} + x_{4} = 6.
  • Substituindo x_{4}=2: x_{1} + 2 = 6.
  • Então x_{1} = 4.

Resposta

x_{1}=4,\\ x_{2}=-3,\\ x_{3}=1,\\ x_{4}=2

Exercícios relacionados