Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
\begin{aligned} 10 y-4 z+w= & 1 \\\ x+4 y-z+w= & 2 \\\\ 3 x+2 y+z+2 w= & 5 \\\\ -2 x-8 y+2 z-2 w= & -4 \\\ x-6 y+3 z= & 1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação de Gauss–Jordan, o sistema linear
\begin{cases} 10\,y-4\,z+w=1,\\\ x+4\,y-z+w=2,\\\\ 3\,x+2\,y+z+2\,w=5,\\\\ -2\,x-8\,y+2\,z-2\,w=-4,\\\ x-6\,y+3\,z=1. \end{cases}
O conteúdo é métodos de resolução de sistemas lineares e precisamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares para chegar à forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 10 & -4 & 1 & 1\\\\ 1 & 4 & -1 & 1 & 2\\\\ 3 & 2 & 1 & 2 & 5\\\\ -2 & -8 & 2 & -2 & -4\\\\ 1 & -6 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Queremos pivotar em x, então trocamos a primeira e a segunda linhas para que o pivô seja 1:
R_1\leftrightarrow R_2:\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & -1 & 1 & 2\\\\ 0 & 10 & -4 & 1 & 1\\\\ 3 & 2 & 1 & 2 & 5\\\\ -2 & -8 & 2 & -2 & -4\\\\ 1 & -6 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right].
Em seguida, eliminamos x das demais linhas:
\begin{aligned} R_2&\leftarrow R_2-0\cdot R_1,& R_3&\leftarrow R_3-3\,R_1,\\\ R_4&\leftarrow R_4+2\,R_1,& R_5&\leftarrow R_5-1\,R_1. \end{aligned}
Isso produz
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & -1 & 1 & 2\\\\ 0 & 10 & -4 & 1 & 1\\\\ 0 & -10 & 4 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -10 & 4 & -1 & -1 \end{array}\right].
As linhas 4 e 5 são idênticas ou nulas, indicando redundância.

Passo 4

Ficamos então com as duas equações não triviais correspondentes a
\begin{cases} x+4y -z +w =2,\\\\ 10y -4z +w =1. \end{cases}
Na matriz, tomamos a segunda linha como pivô em y:
R_2\leftarrow \frac{1}{10}R_2:\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & -1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \end{array}\right].

Passo 5

Eliminamos y da primeira linha:
R_1\leftarrow R_1-4\,R_2 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{8}{5}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \end{array}\right].
Chegamos à forma reduzida, em que z e w são variáveis livres.

Passo 6

Das duas linhas finais lemos
\begin{cases} x + \tfrac{3}{5}z + \tfrac{3}{5}w = \tfrac{8}{5},\\\ y - \tfrac{2}{5}z + \tfrac{1}{10}w = \tfrac{1}{10}. \end{cases}
Introduzindo parâmetros z=s e w=t, a solução geral é
\begin{aligned} x&=\tfrac{8}{5}-\tfrac{3}{5}s-\tfrac{3}{5}t,\\\ y&=\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{5}s-\tfrac{1}{10}t,\\\ z&=s,\\\ w&=t, \end{aligned} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z,w) =\Bigl(\tfrac{8}{5}-\tfrac{3}{5}s-\tfrac{3}{5}t,\;\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{5}s-\tfrac{1}{10}t,\;s,\;t\Bigr), \quad s,t\in\mathbb{R}.

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