Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan: \left\{\begin{aligned} 3 x+y-3 z & =-4 \\\ x+y+z & =1 \\\\ 5 x+6 y+8 z & =8\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de três equações com três incógnitas e pede que o resolvamos:
O objetivo é encontrar todos os valores de x, y e z que satisfaçam as três equações simultaneamente (ou concluir que não existe solução).]
Passo 2
Vou usar a representação em matriz aumentada — é uma forma compacta de escrever o sistema e facilita fazer operações para resolver. A matriz aumentada do sistema é:
Explicação rápida (sem pular etapas): as três colunas à esquerda representam os coeficientes de x, y e z; a coluna após a barra vertical é o termo independente (o lado direito das equações). O objetivo do método de Gauss-Jordan é usar operações com linhas para transformar essa matriz numa forma em que as soluções (se existirem) aparecem imediatamente.]
Passo 3
Quais operações são permitidas (e por que)? Elas não mudam o conjunto de soluções:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Queremos chegar a uma forma onde cada linha tem um “1” pivot e zeros nas outras entradas dessa coluna (forma reduzida por linhas). Vou começar escolhendo uma linha com coeficiente 1 na coluna de x para facilitar — assim evitamos dividir logo de cara.
Passo 4
Troco R_1 com R_2 porque R_2 já tem 1 na coluna de x. Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
A matriz fica:
Agora queremos um pivot na coluna de y. Perceba que R_3 tem 1 na coluna de y, o que é conveniente — vou trocar R_2 e R_3 para obter esse 1 como pivot na segunda linha. Operação: R_2 \leftrightarrow R_3.
Interpretação da última linha [0\;0\;0\;|\;-1]: isto corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja \;0=-1. Isso é uma contradição impossível — nenhuma escolha de x,y,z torna isso verdadeiro.
Quando, ao reduzir, aparece uma linha com todos coeficientes zero e termo independente diferente de zero, isso significa que o sistema é inconsistente (ou seja, não tem solução).
Passo 9
Conclusão didática: vimos que depois de operações elementares chegamos a uma equação contraditória. Portanto o sistema original não tem solução. Dica prática para prova: ao aplicar Gauss-Jordan, se aparecer uma linha do tipo [0\;0\;\dots\;0\;|\;b] com b\neq 0, pare — o sistema é incompatível.