Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{aligned} 3 x+y-3 z & =-4 \\\ x+y+z & =1 \\\\ 5 x+6 y+8 z & =8\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações com três incógnitas e pede que o resolvamos:
\begin{cases} 3x+y-3z=-4\\[4pt] x+y+z=1\\[4pt] 5x+6y+8z=8 \end{cases}
Informações importantes fornecidas:
  • As incógnitas são x, y e z.
  • Temos exatamente três equações lineares.
  • O objetivo é encontrar todos os valores de x, y e z que satisfaçam as três equações simultaneamente (ou concluir que não existe solução).]

Passo 2

Vou usar a representação em matriz aumentada — é uma forma compacta de escrever o sistema e facilita fazer operações para resolver. A matriz aumentada do sistema é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & -3 & -4\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 6 & 8 & 8 \end{array}\right]
Explicação rápida (sem pular etapas): as três colunas à esquerda representam os coeficientes de x, y e z; a coluna após a barra vertical é o termo independente (o lado direito das equações). O objetivo do método de Gauss-Jordan é usar operações com linhas para transformar essa matriz numa forma em que as soluções (se existirem) aparecem imediatamente.]

Passo 3

Quais operações são permitidas (e por que)? Elas não mudam o conjunto de soluções:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Queremos chegar a uma forma onde cada linha tem um “1” pivot e zeros nas outras entradas dessa coluna (forma reduzida por linhas). Vou começar escolhendo uma linha com coeficiente 1 na coluna de x para facilitar — assim evitamos dividir logo de cara.

Passo 4

Troco R_1 com R_2 porque R_2 já tem 1 na coluna de x. Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 1 & -3 & -4\\[4pt] 5 & 6 & 8 & 8 \end{array}\right]]

Passo 5

Elimino x das linhas 2 e 3 usando R_1.
  • Para zerar a entrada 3 em R_2: faço R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
    Cálculo linha a linha:
R_2: \;[3,1,-3|-4] - 3\cdot[1,1,1|1] = [3-3,\;1-3,\;-3-3,\;-4-3] = [0,-2,-6,-7].
  • Para zerar a entrada 5 em R_3: faço R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
    Cálculo:
R_3: \;[5,6,8|8] - 5\cdot[1,1,1|1] = [5-5,\;6-5,\;8-5,\;8-5] = [0,1,3,3].
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -6 & -7\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora queremos um pivot na coluna de y. Perceba que R_3 tem 1 na coluna de y, o que é conveniente — vou trocar R_2 e R_3 para obter esse 1 como pivot na segunda linha. Operação: R_2 \leftrightarrow R_3.
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & -2 & -6 & -7 \end{array}\right]]

Passo 7

Com pivot 1 em R_2 (coluna de y), zerei as outras entradas da coluna de y:
  • Para zerar o 1 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
    Cálculo:
R_1: \;[1,1,1|1] - [0,1,3|3] = [1,\;0,\;1-3,\;1-3] = [1,0,-2,-2].
  • Para zerar o -2 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
    Cálculo:
R_3: \;[0,-2,-6|-7] + 2\cdot[0,1,3|3] = [0,\;0,\;-6+6,\;-7+6] = [0,0,0,-1].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação da última linha [0\;0\;0\;|\;-1]: isto corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja \;0=-1. Isso é uma contradição impossível — nenhuma escolha de x,y,z torna isso verdadeiro.
Quando, ao reduzir, aparece uma linha com todos coeficientes zero e termo independente diferente de zero, isso significa que o sistema é inconsistente (ou seja, não tem solução).

Passo 9

Conclusão didática: vimos que depois de operações elementares chegamos a uma equação contraditória. Portanto o sistema original não tem solução. Dica prática para prova: ao aplicar Gauss-Jordan, se aparecer uma linha do tipo [0\;0\;\dots\;0\;|\;b] com b\neq 0, pare — o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é impossível (não tem solução).

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