O enunciado dá o sistema linear com duas equações e duas incógnitas. As equações são:
x_{1}-2x_{2}=5
3x_{1}+x_{2}=1
O que o problema pede: encontrar os valores de \,x_{1} e x_{2} que satisfazem simultaneamente essas duas equações.
Passo 2
Escolhi o método de eliminação por combinação linear (também chamado de método da adição). Vou explicar a ideia de forma bem direta e sem jargão: a técnica consiste em multiplicar uma ou ambas as equações por números adequados para que, quando somarmos (ou subtrairmos) as equações, uma das incógnitas se cancele. Isso reduz o sistema a uma equação com uma única incógnita, que conseguimos resolver facilmente. Em seguida, voltamos com esse valor para uma das equações originais (substituição) e achamos a outra incógnita.
Exemplo mini-aula: se tivermos
a x_{1}+b x_{2}=c
d x_{1}+e x_{2}=f,
podemos multiplicar a primeira por d e a segunda por -a e somar; assim os termos em x_{1} se anulam porque d\cdot a + (-a)\cdot d = 0. O mesmo raciocínio vale para eliminar x_{2} se preferirmos.
Vamos aplicar isso ao sistema dado.
Passo 3
Escrevo novamente as equações para manipular:
x_{1}-2x_{2}=5 \tag{1}
3x_{1}+x_{2}=1 \tag{2}
Para eliminar \,x_{1} posso multiplicar a equação (1) por -3 e somá-la à equação (2). Multiplicando (1) por -3 obtemos:
-3x_{1}+6x_{2}=-15. \tag{3}
Agora somo (3) com (2):
(3x_{1}+x_{2}) + (-3x_{1}+6x_{2}) = 1 + (-15).
Passo 4
Faço as somas termo a termo: os termos em x_{1} se cancelam e os termos em x_{2} e os termos independentes somam:
0\cdot x_{1} + 7x_{2} = -14.
Logo:
7x_{2} = -14.
Dividindo ambos os lados por 7 (lembrando que dividir por um número diferente de zero é uma operação permitida que preserva a igualdade):
x_{2} = -2.
Passo 5
Agora que temos \,x_{2}=-2, substituímos esse valor em uma das equações originais para achar \,x_{1}. Vou usar a equação (1):
x_{1} - 2x_{2} = 5.
Substituindo \,x_{2}=-2:
x_{1} - 2\cdot(-2) = 5.
Calculo o produto e simplifico:
x_{1} + 4 = 5.
Subtraindo 4 dos dois lados:
x_{1} = 1.
Passo 6
Verificação (sempre faça isso na prova para garantir que não houve erro de cálculo). Substituo \,x_{1}=1 e \,x_{2}=-2 em ambas as equações: