teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\left(t{2}+x{2}\right) d t+(2 t x-x) d x=0
\left(t{2}+x{2}\right) d t+(2 t x-x) d x=0
Passo 1
O enunciado pede para testar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê‑la. A equação dada é
As informações relevantes que temos:
Queremos (1) verificar se a equação é exata e (2) encontrar a solução geral quando for exata.
Passo 2
O que significa “exata”? Vou explicar com calma. Uma equação da forma
é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma condição prática (e fácil de aplicar) para testar exatidão, desde que
e
tenham derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, é:
Vou aplicar essa condição ao nosso
e
. Aqui é importante entender o que é derivada parcial: para
você trata
como constante e deriva em relação a
; para
trata
como constante e deriva em relação a
.
Passo 3
Calculo das derivadas parciais:
Primeiro,
porque derivando
em relação a
dá
(tratamos
como constante) e derivando
dá
.
Segundo,
porque
derivado em relação a
dá
(já que
é constante nessa derivação) e
é constante em
, derivada
.
Como
a condição de exatidão é satisfeita. Logo, a equação é exata (polinômios são suaves e o domínio pode ser tomado simplesmente conexo).
Passo 4
Agora resolvemos sabendo que existe
com
A técnica é integrar
em relação a
, tratando
como constante, e adicionar uma “constante” de integração que pode depender de
. Faço isso passo a passo:
Integro
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(porque ao integrar em
a constante de integração pode depender de
).
Passo 5
Agora uso a outra condição
para determinar
. Primeiro calculo
a partir da expressão encontrada:
Devemos igualar isso a
, que é
. Assim:
Simplificando (note que
), obtemos
Passo 6
Integro
para obter
:
onde
é constante real. Substituo
em
:
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
. Podemos juntar a constante
com a constante da solução e escrever a solução implícita como
onde
é constante arbitrária (geral da família de curvas solução).
Passo 7
Verificação rápida (para me deixar mais confiante, e você também): derivando implicitamente
temos
que é exatamente o lado esquerdo da equação original. Então a solução está correta.