teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
\left(t{2}+x{2}\right) d t+(2 t x-x) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para testar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê‑la. A equação dada é
\left(t^{2}+x^{2}\right)\,dt+(2tx-x)\,dx=0.
As informações relevantes que temos:
M(t,x)=t^{2}+x^{2}\quad\text{(coeficiente de }dt\text{)}
N(t,x)=2tx-x\quad\text{(coeficiente de }dx\text{)}
Queremos (1) verificar se a equação é exata e (2) encontrar a solução geral quando for exata.

Passo 2

O que significa “exata”? Vou explicar com calma. Uma equação da forma
M(t,x)\,dt+N(t,x)\,dx=0
é exata se existir uma função potencial \Psi(t,x) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=M(t,x)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial x}=N(t,x).
Uma condição prática (e fácil de aplicar) para testar exatidão, desde que M e N tenham derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, é:
\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Vou aplicar essa condição ao nosso M e N. Aqui é importante entender o que é derivada parcial: para \partial M/\partial x você trata t como constante e deriva em relação a x; para \partial N/\partial t trata x como constante e deriva em relação a t.

Passo 3

Calculo das derivadas parciais:
Primeiro,
M(t,x)=t^{2}+x^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial x}=2x,
porque derivando t^{2} em relação a x 0 (tratamos t como constante) e derivando x^{2} 2x.
Segundo,
N(t,x)=2tx-x\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial t}=2x,
porque 2tx derivado em relação a t 2x (já que x é constante nessa derivação) e -x é constante em t, derivada 0.
Como
\frac{\partial M}{\partial x}=2x=\frac{\partial N}{\partial t},
a condição de exatidão é satisfeita. Logo, a equação é exata (polinômios são suaves e o domínio pode ser tomado simplesmente conexo).

Passo 4

Agora resolvemos sabendo que existe \Psi(t,x) com
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=M(t,x)=t^{2}+x^{2}.
A técnica é integrar M em relação a t, tratando x como constante, e adicionar uma “constante” de integração que pode depender de x. Faço isso passo a passo:
Integro M em relação a t:
\Psi(t,x)=\int (t^{2}+x^{2})\,dt=\frac{t^{3}}{3}+x^{2}t + h(x),
onde h(x) é uma função arbitrária de x (porque ao integrar em t a constante de integração pode depender de x).

Passo 5

Agora uso a outra condição \partial \Psi/\partial x = N(t,x) para determinar h(x). Primeiro calculo \partial \Psi/\partial x a partir da expressão encontrada:
\Psi(t,x)=\frac{t^{3}}{3}+x^{2}t+h(x)
\Rightarrow\quad \frac{\partial \Psi}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{t^{3}}{3}\right)+\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}t)+h'(x)=0 + 2xt + h'(x).
Devemos igualar isso a N(t,x), que é 2tx-x. Assim:
2xt + h'(x) = 2tx - x.
Simplificando (note que 2xt=2tx), obtemos
h'(x) = -x.

Passo 6

Integro h'(x)=-x para obter h(x):
h(x)=\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante real. Substituo h(x) em \Psi(t,x):
\Psi(t,x)=\frac{t^{3}}{3}+x^{2}t - \frac{x^{2}}{2} + C.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Psi(t,x)=\text{constante}. Podemos juntar a constante C com a constante da solução e escrever a solução implícita como
\frac{t^{3}}{3}+x^{2}t - \frac{x^{2}}{2} = K,
onde K é constante arbitrária (geral da família de curvas solução).

Passo 7

Verificação rápida (para me deixar mais confiante, e você também): derivando implicitamente
\Psi(t,x)=\frac{t^{3}}{3}+x^{2}t - \frac{x^{2}}{2}
temos
d\Psi=\left(t^{2}+x^{2}\right)dt+(2tx-x)\,dx,
que é exatamente o lado esquerdo da equação original. Então a solução está correta.

Resposta

\frac{t^{3}}{3}+x^{2}t-\frac{x^{2}}{2}=K

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