Determine se o ponto D pertence ao plano que contém os pontos A, B e C, onde:
A=(3,1,1), B=(1,0,1), C=(3,3,0), D=(3,-3,3).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
A=(3,1,1), B=(1,0,1), C=(3,3,0) e D=(3,-3,3). Queremos saber se D está no plano determinado por A, B e C. Para isso, usamos a ideia de produto vetorial: o ponto D pertence ao plano ABC se, e somente se, o vetor AD for ortogonal ao vetor normal ao plano, dado por ABtimesAC.

Passo 2

Calcular os vetores
AB = B - A = (1-3,,0-1,,1-1) = (-2,-1,0),
AC = C - A = (3-3,,3-1,,0-1) = (0,2,-1),
AD = D - A = (3-3,,-3-1,,3-1) = (0,-4,2)

Passo 3

Calcular o vetor normal ao plano ABC por
n = ABtimesAC
Usando a regra do determinante,
n = (-2,-1,0)times(0,2,-1) = l((-1)(-1)-0cdot2,;0cdot0-(-2)(-1),;(-2)cdot2-(-1)cdot0r) = (1,-2,-4)

Passo 4

Verificar se AD é ortogonal a n calculando o produto escalar:
ncdotAD = (1,-2,-4)cdot(0,-4,2) = 1cdot0 + (-2)cdot(-4) + (-4)cdot2 = 0 + 8 - 8 = 0
Como o produto escalar é zero, AD é ortogonal a n, logo D está no mesmo plano de A, B e C.

Resposta

O ponto D pertence ao plano que contém A, B e C.

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