Determine se o ponto pertence ao plano que contém os pontos e , onde: .
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos em : , , e . Queremos saber se está no plano determinado por , e . Para isso, usamos a ideia de produto vetorial: o ponto pertence ao plano se, e somente se, o vetor for ortogonal ao vetor normal ao plano, dado por ABtimesAC.
Passo 2
Calcular os vetores
AB = B - A = (1-3,,0-1,,1-1) = (-2,-1,0),
AC = C - A = (3-3,,3-1,,0-1) = (0,2,-1),
AD = D - A = (3-3,,-3-1,,3-1) = (0,-4,2)
Passo 3
Calcular o vetor normal ao plano ABC por
n = ABtimesAC
Usando a regra do determinante,
n = (-2,-1,0)times(0,2,-1) = l((-1)(-1)-0cdot2,;0cdot0-(-2)(-1),;(-2)cdot2-(-1)cdot0r) = (1,-2,-4)
Passo 4
Verificar se AD é ortogonal a n calculando o produto escalar: