Resolva cada um dos sistemas lineares, determinando as matrizes reduzidas por linhas a forma escada, e os postos das matrizes ampliada e dos coeficientes de cada um dos sistemas abaixo:
lx+y+2 z=1 -x-2 y+3 z=-4 3 x+2 y+11 z=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + y + 2z = 1, -,x - 2y + 3z = -4, 3x + 2y + 11z = 0,
usando eliminação de Gauss, determinando a forma escada (row echelon) da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada, e calcular os postos ( rank) de cada uma.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes A e a matriz ampliada [A|b]:
A= 1 & 1 & 2 -1 & -2 & 3 3 & 2 & 11 , [A|b]= 1 & 1 & 2 & 1 -1 & -2 & 3 & -4 3 & 2 & 11 & 0

Passo 3

Aplicando operações elementares sobre [A|b]:
  • R2 >=ts R2 + R1 [0,,-1,,5,,-3],
  • R3 >=ts R3 - 3R1 [0,,-1,,5,,-3],
  • R3 >=ts R3 - R2 [0,,0,,0,,0].
A forma escada de [A|b] fica
1 & 1 & 2 & 1 0 & -1 & 5 & -3 0 & 0 & 0 & 0 ,
e a forma escada de A é o bloco das três primeiras colunas:
1 & 1 & 2 0 & -1 & 5 0 & 0 & 0

Passo 4

Da forma escada vemos duas linhas não nulas em A e em [A|b]. Logo
rank(A)=2, rank([A|b])=2

Passo 5

Como rank(A)=2<3, o sistema tem infinitas soluções com um grau de liberdade. Seja z=t. Da segunda linha da forma escada:
-,y + 5t = -3 Rightarrow y = 5t + 3
Da primeira linha:
x + y + 2z = 1 Rightarrow x + (5t+3) + 2t = 1 Rightarrow x = -2 -7t
Logo a solução geral é
(x,y,z)=(-2 -7t,;3+5t,;t), tinR

Resposta

Matriz dos coeficientes em forma escada:
1 & 1 & 2 0 & -1 & 5 0 & 0 & 0 ,
matriz ampliada em forma escada:
1 & 1 & 2 & 1 0 & -1 & 5 & -3 0 & 0 & 0 & 0 ,
rank(A)=2, rank([A|b])=2, e solução geral
(x,y,z)=(-2-7t,;3+5t,;t), tinR

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